高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理应用举例应用案巩固提升 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP免费

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例[A基础达标]1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A．500米B．600米C．700米D．800米解析：选C.由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，所以AB＝700米，故选C.2．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A．110米B．112米C．220米D．224米解析：选A.如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.3．设甲、乙两幢楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是()A．20m，mB．10m，20mC．10(－)m，20mD．m，m解析：选A.由题意，知h甲＝20tan60°＝20(m)，h乙＝20tan60°－20tan30°＝(m)．4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是()A．5海里/时B．5海里/时C．10海里/时D．10海里/时解析：选D.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D.5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A．5kmB．10kmC．5kmD．5km解析：选C.作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得＝，即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5km.6.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2mm，AB＝mm，则∠ACB＝________．解析：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝－.因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.答案：7．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得＝，BC＝＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin75°＝×＝(km)．答案：8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m.解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，设AB＝h，则BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h，在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理可得40000＝h2＋3h2－2h·h·，所以h＝200，所以塔高AB＝200m.答案：2009.如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km，求D，A之间的距离．解：由已知，得CD＝21km，BC＝31km，BD＝20km.在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.设∠ADC＝α，则cosα＝，sinα＝.在△ACD中，由正弦定理＝，得＝，所以AD＝sin(60°＋α)＝＝15(km)，即所求的距离为15km.10．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266m，计算气球的高度．解：如图，设CD＝x，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝x.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝＝x.在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，所以x＝38(m)．所以气球的高度...