高考数学专题二第2讲知能演练轻松闯关训练题1．若cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，则tan(x＋)等于()A．－B．－2C.D．2解析：选D.由cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，得tanx＝.所以tan(x＋)＝＝＝2.2．(2012·安徽淮北一模)已知＝，则tanα＋＝()A．－8B．8C.D．－解析：选A.∵＝＝cosα－sinα＝，∴1－2sinαcosα＝，即sinαcosα＝－.则tanα＋＝＋＝＝＝－8.故选A.3．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sinα＝，那么sin(＋α)sin(－α)的值为()A.B．－C.D．－解析：选A.sin(＋α)sin(－α)＝sin2cos2α－cos2sin2α＝sin(＋2α)＝cos2α＝(1－2sin2α)＝，选A.4．(2012·河南省豫东、豫北十校阶段性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，则b＝()A．4B．3C．2D．1解析：选C.依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×＝4a2，所以b＝c＝2a，sinB＝＝，又S△ABC＝acsinB＝××b×＝，所以b＝2，选C.5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里解析：选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10.在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．6．(2011·高考江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.解析：r＝＝，且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.答案：－87．(2012·西城区期末考试)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，B＝，sinC＝，则c＝________，a＝________.解析：根据正弦定理得：＝，则c＝＝2，再由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．答案：268．(2012·高考江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．解析：∵α为锐角且cos＝，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.答案：9．(2012·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝，cosA＝－.(1)求sinC和b的值；(2)求cos的值．解：(1)在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝.又由＝及a＝2，c＝，可得sinC＝.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0.因为b>0，故解得b＝1.1所以sinC＝，b＝1.(2)由cosA＝－，sinA＝，得cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinAcosA＝－.所以cos＝cos2Acos－sin2Asin＝.10．(2012·高考山东卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.解：(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinB＝·，所以sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC.所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，所以sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，a，b，c成等比数列，所以b＝.由余弦定理得cosB＝＝＝.因为0＜B＜π，所以sinB＝＝，故△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.11．(2012·福州市质检)如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．解：(1)∵S△DAC＝2，∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，∴sin∠DAC＝.∵∠DAC<∠BAC<π－＝，∴∠DAC＝.在△ADC中，由余弦定理，得DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，∴DC＝2.(2)∵AB＝AD，B＝，∴△ABD为正三角形．在△ADC中，根据正弦定理，可得＝＝，∴AD＝8sinC，DC＝8sin(－C)，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin(－C)＋4＝8(sinC＋cosC－sinC)＋4＝8(sinC＋cosC)＋4＝8sin(C＋)＋4，∵∠ADC＝，∴0
