热点探究训练(一)导数应用中的高考热点问题1．(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增加的．若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上是增加的，在上是减少的．(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.2．已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．[解](1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x].2分当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.5分(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.6分当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．8分当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0(0，－(a＋2))－(a＋2)(－(a＋2)，＋∞)f′(x)0－0＋f(x)－a由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝.1因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a(－a)＞－a，又f(0)＝－A．所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.12分3．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【导学号：00090078】[解](1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).1分(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的.3分(ⅱ)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的．②若a＞－，则ln(－2a)＜1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上是增加的，在(ln(－2a)，1)上是减少的.5分③若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上是增加的，在(1，ln(－2a))上是减少的.7分(2)(ⅰ)设a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有两个零点.9分(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点．(ⅲ)设a＜0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上是增加的．又当x≤1时f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点；若a＜－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上是减少的，在(ln(－2a)，＋∞)上是增加的．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞).12分4．(2017·郑州二次质量预测)已知函数f(x)＝.(1)讨论函数y＝f(x)在x∈(m，＋∞)上的单调性；(2)若m∈，则当x∈[m，m＋1]时，函数y＝f(x)的图像是否总在函数g(x)＝x2＋x图像上方？请写出判断过程．[解](1)f′(x)＝＝，2分当x∈(m，m＋1)时，f′(x)＜0；当x∈(m＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(m，m＋1)上是减少的，在(m＋1，＋∞)上是增加的.4分(2)由(1)知f(x)在(m，m＋1)上是减少的，所以其最小值为f(m＋1)＝em＋1.5分2因为m∈，g(x)在x∈[m，m＋1]...
