专题17三角函数的性质与应用【考纲要求】（1）了解三角函数的周期性；（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等）；（3）理解正切函数在区间内的单调性．【命题规律】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．预计2018年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用．【典型高考试题变式】（一）三角函数的周期性例1【2017山东】函数最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ，∴，故选C．【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成，或等类型后，用基本结论或来确定；③根据图象来判断．【变式1】【例题中的解析式改变了，选择题改为填空题】函数的最小正周期是__________．【答案】【解析】 ＝，∴函数的最小正周期是．【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数的最小正周期是，则正数的值为＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】 ，∴．（二）三角函数的单调性例2【2015新课标1】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是（）A．B．C．D．【答案】B【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数的单调增区间是_________．【答案】【解析】因为,所以增区间为,即,取可得,又,故,应填答案．（三）三角函数的奇偶性例3【2014安徽】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（）A．B.C．D．【答案】C【方法技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则；②若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则．【变式1】【命题中由先求解析式改为直接给出解析，且由偶函数改为奇函数，所求基本不变】若函数是奇函数，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数是奇函数，所以，所以时，，故选C．【变式2】【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函数是奇函数，且最小正周期为，则＿＿＿．【答案】【解析】函数=为奇函数,所以,即．当时，．（四）三角函数的对称性例4【2016新课标2】若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（）A．x=(k∈Z)B．x=(k∈Z)C．x=(k∈Z)D．x=(k∈Z)【答案】B【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位长度得函数＝的图像，则平移后函数图像的对称轴为，即，故选B．【方法技巧归纳】求解三角函数对称性的方法：（1）求函数的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①...
