考点22平面向量的概念及其线性运算1．若向量，满足，，且，则与的夹角为A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，故，解得，所以与两个向量的夹角为，故选A.2．已知，且，，，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A3．已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则()A．B．C．6D．12【答案】A4．已知向量与共线且方向相同，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】向量与共线，∴t2﹣4＝0，解得t＝±2；又与方向相同，∴t＝2，∴＝（2，1），＝（4，2），∴＝（14，7），∴＝142+72＝245，又2﹣＝（0，0），∴＝0，∴＝245．故选：C．5．在直角三角形中，，，，在斜边的中线上，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B6．在中，，，，且是的外心，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由数量积的几何意义知，，故.7．设向量，,则与垂直的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；∴．故选：C．8．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角为．【答案】90°9．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是．【答案】120°【解析】AB＝(－2，－1,3)，CA＝(－1,3，－2)，AB·CA＝－7，|AB|＝，|CA|＝，∴cosθ＝＝－，∴θ＝120°.10．在中，，点在上，，，则__________．【答案】12【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得，所以.11．在菱形ABCD中，若，则的值为______．【答案】12．若非零向量满足，则__________.【答案】1【解析】结合可知，得到13．在三角形AOB中，已知，，，且，，则的值为______.【答案】【解析】因为，所以D为OB的中点，所以，所以，因为，，，所以14．已知向量，则在方向上的投影等于__________．【答案】【解析】向量，则向量在方向上的投影为：；故答案为．15．已知平面向量满足，且，则向量的夹角为___【答案】故答案为：．16．已知向量，向量，若，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，则向量的夹角为.17．已知向量，满足，，则向量在方向上的投影为______．【答案】18．设向量，若单位向量满足，则__________．【答案】【解析】由于，故，即，解得.19．边长为6的正三角形中，点满足，则的值为__________．【答案】3020.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E.【答案】(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)见解析(3)见解析【解析】(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)，∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F⊥C1E，∴A1F⊥C1E.(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，∴A1E，A1C1，A1F共面．选A1E与A1C1为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F＝λ1A1C1＋λ2A1E，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴于是A1F＝A1C1＋A1E.21.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF·BA；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【答案】(1)(2)(3).
