第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明6,10,14等比数列的基本运算1,5,7,9等比、等差数列的综合2,4,11等比数列的性质8,13等比数列与其他知识的综合3,12,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015沈阳模拟)已知数列{an}是等比数列,且a1=,a4=-1,则{an}的公比q为(C)(A)2(B)-(C)-2(D)解析:由=q3=-8q=-2.⇒2.(2015商丘一模)公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于(D)(A)2(B)4(C)8(D)16解析:由等差数列的性质,2a3-+2a11=0得=2(a3+a11)=4a7,所以a7=4或a7=0.由数列{bn}是等比数列,且b7=a7,所以b7=4,所以b6b8==16.3.(2015山东一模)已知正数组成的等比数列{an},若a1·a20=100,那么a7+a14的最小值为(A)(A)20(B)25(C)50(D)不存在解析:因为正数组成的等比数列{an},a1·a20=100,所以a7+a14≥2=2=2=20.当且仅当a7=a14时,a7+a14取最小值20.14.(2015湛江一模)已知等比数列{an}的各项均为正数,且公比q≠1,若a2,a3,a1成等差数列,则公比q等于(D)(A)或(B)(C)或(D)解析:因为a2,a3,a1成等差数列,所以2×a3=a1+a2,即a3=a1+a2,因为等比数列{an}的各项均为正数,且公比q≠1,所以a1q2=a1+a1q,化简得q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去).5.在等比数列{an}中,a1=1,公比为q,且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于(C)(A)9(B)10(C)11(D)12解析:因为a1=1,所以am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10,即am=a1·q10,所以m=11.6.(2015奉贤区一模)已知数列{an}的首项a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则下列结论正确的是(B)(A)数列{an}是等比数列(B)数列a2,a3,…,an是等比数列(C)数列{an}是等差数列(D)数列a2,a3,…,an是等差数列解析:由an+1=3Sn(n≥1),得an=3Sn-1(n≥2),两式作差得an+1-an=3an(n≥2),即an+1=4an(n≥2),因为a1=1,an+1=3Sn(n≥1),所以a2=3,所以数列a2,a3,…,an是公比为4的等比数列.7.已知等比数列{an}的公比为正数,且a2·a6=9a4,a2=1,则a1=.解析:由a2·a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,解得q2=9,2所以q=3或q=-3(舍去),所以由a2=a1q,得a1==.答案:8.等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则{an}的通项公式an=.解析:因为=,所以=-,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-,q=-,则an=-1×（-）n-1=-（-）n-1.答案:-(-)n-19.(2015扬州期末)等比数列{an}中,Sn是其前n项和,S3=7,S6=63.(1)求an;(2)记数列{Sn}的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)若q=1,则S6=2S3,与已知矛盾,所以q≠1,则解得即an=2n-1.(2)由(1),求得Sn=2n-1,3于是Tn=21-1+22-1+…+2n-1=-n=2n+1-n-2.10.(2015蓟县期中)已知数列{an}的首项a1=5,Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式an.(1)证明:因为Sn+1=2Sn+n+5,所以当n≥2时,Sn=2Sn-1+n-1+5,两式相减可得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1(n≥2),即an+1=2an+1,所以==2,又当n=1时,S2=2S1+1+5=16,所以a2=S2-S1=16-5=11,所以==2,所以数列{an+1}是以6为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)知a1+1=6,所以an+1=6×2n-1=3×2n,所以an=3×2n-1.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015宣城三模)在等比数列{an}中,Sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则S6等于(A)(A)(B)16(C)15(D)解析:设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可得a1·a4=a2·a3=2a1,解得a4=2,由a4与2a7的等差中项为17可得a4+2a7=2×17,解得a7=(2×17-a4)=16,所以q3===8,解得q=2.所以a1===,所以S6==.412.(2015重庆一模)已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为.解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,因为a7=a6+2a5,则a1·q6=a1·q5+2a1q4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),若=4a1,则a1qm-1a1qn-1=16,解得m+n=6.则6(+)=(m+n)(+)=5+(+)≥5+4=9,则+≥=.当且仅当=即m=2且n=4时取等号.答案:13.设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和,且=,则loa5=.解析:设正项数列{an}的公比为q,正项数列{bn}的公比为p,则数列{lgan}是公差为lgq的等差数列,{lgbn}是公差为lgp的等差数列.故Sn=nlga1+lgq.Tn=nlgb1+lgp.又=5=.所以loa5====.答案:14.(2014高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证...
