第3节函数的奇偶性与周期性[A级基础巩固]1．(多选题)(2020·广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是()A．y＝－B．y＝2x－2－xC．y＝sinxD．y＝x|x|解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)不能写成并集，所以A选项错误．对于B选项，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数．D项，当x≥0，y＝x2是增函数；x≤0时，y＝－x2也是增函数，且y＝x|x|是奇函数．答案：BD2．(2020·广东湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)，所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.答案：C3．若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是()A．x＝－1B．x＝0C．x＝D．x＝－解析：因为函数y＝f(2x－1)是偶函数，所以函数y＝f(2x－1)的图象关于y轴对称，因为函数y＝f(2x＋1)的图象是由函数y＝f(2x－1)的图象向左平移一个单位得到，故y＝f(2x＋1)的图象关于x＝－1对称．答案：A4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2021)等于()A．4B．2C．－2D．log27解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，所以f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．因为－1∈，且当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，所以f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，所以f(2021)＝－f(－1)＝－2.答案：C5．(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a
log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.法二(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又13>log25.1>20.8，从而可得c>a>b.答案：C6．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1，4)B．(－2，0)C．(－1，0)D．(－1，2)解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，所以f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)＜1，f(5)＝，所以＜1，即＜0，解得－1＜a＜4.答案：A7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(1)＝________，f(0)＋f(－1)＝________．解析：当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(1)＝2，又f(x)在R上是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2，f(0)＝0，故f(0)＋f(－1)＝－2.答案：2－28．(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.答案：69．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足f(lnt)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(lnt)＝f，由f(lnt)＋f≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，故≤t≤e.答案：10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．(1)证明：由f＝－f，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，2因此函数y＝f(x)是以3为周期的函数．(2)解：由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)＝0，所以f(3)＝f(0)＝0，又f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故f(2)＋f(3)＝－2＋0＝－2.(3)解：因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．故g(x)...
