第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2,4范围问题1,3,6证明问题5,71.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且与椭圆x2+=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.解:(1)因为椭圆C的焦距为4,所以c=2.又因为椭圆x2+=1的离心率为,所以椭圆C的离心率e===,所以a=2,b=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0,所以x1+x2=,x1x2=.由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),因为右焦点F在圆的内部,所以·<0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2<0,即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0,所以(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k2)·+(k-2)·+5=<0,所以k<.经检验,当k<时,直线l与椭圆C相交,所以直线l的斜率k的取值范围为(-∞,).2.(2015河北省石家庄市五校联合体摸底)已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:y=x+m(m≠0)与椭圆E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点T,当m变化时,求△TAB面积的最大值.解:(1)由已知椭圆的焦点在x轴上,c=1,=,所以a=,b=1,所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)y=x+m代入椭圆方程,消去y得3x2+4mx+2m2-2=0,因为直线l与椭圆有两个交点,所以Δ>0,可得m2<3,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-,x1x2=,所以弦长|AB|=|x1-x2|=·,AB的中点M(-,),设T(x,0),所以kAB·kMT=-1,所以·1=-1,所以x=-,所以T(-,0),|TM|=,所以S=|AB||MT|=.因为m2<3,所以m2=,即m=±时,Smax=.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线(不与x轴重合)交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=,所以x3==,y3=k(x3-1)=,线段MN的垂直平分线的方程为y+=-(x-).在上述方程中,令x=0,得y0==.当k<0时,+4k≤-4,当且仅当=4k,k=-时等号成立;当k>0时,+4k≥4,当且仅当=4k,k=时等号成立.所以-≤y0<0或0b>0)经过点(1,).(1)求椭圆C的方程;(2)P是椭圆C上的一点,点A,A′分别为椭圆的左、右顶点,P不与A,A′重合,直线PA与y轴交于点M,直线PA′与y轴交于点N,求|OM|2+|ON|2(O为坐标原点)的最小值.解:(1)由于椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,则a=2c,b=c,又由椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(1,),则c2=1,故a=2,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)设P(m,n),由于P是椭圆C上的一点,则+=1,即4-m2=n2,①又由点A,A′分别为椭圆的左、右顶点,直线PA与y轴交于点M,直线PA′与y轴交于点N,则直线PA:y=(x+2),直线PA′:y=(x-2),令x=0,得M(0,),N(0,),则|OM|2+|ON|2=()2+()2,将①代入得|OM|2+|ON|2==-6+,由于0≤m2<4,故当m2=0时,|OM|2+|ON|2取最小值6.5.(2015河北唐山摸底)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过点P的斜率为的直线l交C于A,B两点.当m=0时,·=-.(1)求C的方程;(2)求证:|PA|2+|PB|2为定值.(1)解:因为离心率为e==,所以=.当m=0时,l的方程为y=x,代入:+=1,并整理得x2=.设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),·=--=-=-·.又因为·=-,所以a2=25,b2=16,故椭圆C的方程为+=1.(2)证明:l的方程为x=y+m,代入+=1,并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=-,y1y2=,则|PA|2=(x1-m)2+=,同理|PB|2=.则|PA|2+|PB|2=(+)=[(y1+y2)2-2y1y2]=[(-)2-]=41.所以|PA|2+|PB|2是定值.6.(2016淄博模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F2.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求·的取值范围.解:(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆C过点(1,),所以+=1.故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知,当直...
