灵活应用导数的概念解题初学导数的同学往往感觉导数的概念比较抽象，对定义的方法也不太熟悉，要结合瞬时速度、光滑曲线的切线、斜率等实际背景，从物理和几何两方面入手，逐步理解导数的概念，熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，求导的本质是求极限，在求极限的过程中，要准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键。例1、求函数在x＝1处的导数。解析1：（导数定义法），，∴。解析2：（导函数的函数值法），，∴，∴。点评：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法。确定y=f(x)在点x=x0处的导数有两种方法：一是导数定义法，二是导函数的函数值法。例2、设函数y=f(x)在点x=x0处可导，试求下列各极限的值。（1）；（2）用心爱心专心(3)若，则等于（）A.-1B.-2C.1D.解析：（1）（2）＝＝＝（3） ∴＝＝＝，故选C.点评：解决此类问题不能盲目地套用导数的定义，要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系，将所求极限的形式恒等变形转化为已知极限的结构形式，即导数的定义，这是解决这类问题的关键，因此，必须深刻理解导数的概念。例3、设，试问f（x）在x=0处是否可导？解析：函数f（x）在x=0的两侧（不包括x=0在内）虽然其对应法则是用同一个式子表示的，但在x=0处其对应值为零，对应法则和两侧的不同，故按导数定义：由已知f（0）=0，即f（x）在x=0处有定义。用心爱心专心所以f（x）在x=0处可导，即f‘（0）=0。点评：对分段表示的非初等函数，在判断函数在区间的交接点处是否可导时，都应该从定义出发求其导数，当交接点的两侧函数的对应法则用不同式子表示时，应分别求函数在该点处的左右导数，看其是否存在且相等，从而决定在该点处函数是否可导。请读者判断函数，在x=0处是否连续、可导？例4、设f（x）＝x(2－|x|)，则f‘（0）的值等于（）A.0B.1C.2D.不存在解析：由导数的定义知∴f‘（0）＝2，故应选C.点评：此题也是求分段函数在分段点处的导数，一般要用定义求解，应防止出现以下错误： ，∴从而f‘（0）＝0。例5、设函数在x处可导，证明：=f‘（x）证明：===[f‘（x）+f‘（x）]=f‘（x）点评：值得注意的是，若极限存在，f(x)在x处的导数不一定存在，读者可以从函数y=│x│在x=0处的可导性来说明这一点。但若极限用心爱心专心存在，则f(x)在x处可导，读者可自行证明。例6、曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________.解析：由方程组得曲线的交点是A(1,1).对曲线求导数，曲线在点A处的切线斜率K1=，切线方程是l1：y=－x+2。对曲线求导数，。曲线在点A处的切线斜率K1=，切线方程是l2：y=2x－1。又l1、l2与x轴的交点坐标分别为(2,0)，（,0）∴它们与轴所围成的三角形的面积为：点评：本题先求曲线的交点，再由导数求过该交点曲线的切线方程，最后求得所围成的图形面积。例7、求曲线y=x3在横坐标分别为0、x0、x的点处的切线方程。错解：设所求切线的斜率为K，则按导数的几何意义，K=f‘（x）=3x2，根据直线方程的点斜式，所求切线方程分别为：y-0=3x2（x-0）……（1）y-=3x2（x-x0）……（2）y-x3=3x2（x-x）……（3）显然，以上得到的三个方程不是直线方程（因为它们均不是x、y的一次式），故结果是错误的。究其原因，对方程（1）、（2）错在切线的斜率不应该用任意一点的导数代入，而应用心爱心专心该分别用在x=0、x=x0处的导数值代入，对方程（3）错在没有把切点坐标（x，y）（其中y=x3）和切线上任意一点的坐标区分开来，均采用了记号x，y。正确解法应为：设所求切线的斜率为K，则按导数的几何意义，斜率K分别为：K1=f‘（0）=3x2│x=0=0，K2=f‘（x0）=3x2│x=x0=3，K3==3x2。根据直线方程的点斜式，所求切线方程分别为：y-0=0×（x-0），即y=0……（1，）y-=3（x-x0），即y=3x-2……（2，）y-x3=3x2（x-x），即y=3x2x-2x3……（3，）。其中（3，）式中（x，y）的为切线上点的坐标，（x，y）为切点坐标（y=x3）。点评：有人认为方程（1，）即y=0（x轴）穿过曲线y=x3，不是该曲线在点（0，0）处的切...
