专练(二)技法5构造法1.已知m,n∈(2,e),且-nB.m2+D.m,n的大小关系不确定答案:A解析:由不等式可得-0,故函数f(x)在(2,e)上单调递增.因为f(n)xf′(x)恒成立,则不等式x2f-f(x)>0的解集为________.答案:(1,+∞)解析:设g(x)=,则g′(x)=,又因为f(x)>xf′(x),所以g′(x)=<0在(0,+∞)上恒成立,所以函数g(x)=为(0,+∞)上的减函数,又因为x2f-f(x)>0⇔>⇔g>g(x),则有1.3.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.答案:1121解析: an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+=3,∴数列是公比为3的等比数列,∴=3.又S2=4,∴S1=1,∴a1=1,∴S5+=×34=×34=,∴S5=121.4.如图,已知球O的球面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于________.答案:π解析:如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以|CD|==2R,所以R=,故球O的体积V==π.技法6等价转化法5.设x∈R,若“1≤x≤3”是“|x-a|<2”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.[1,3)C.(1,3]D.[1,3]答案:A解析:由|x-a|<2,解得a-20)的焦点为F,准线为l,过F的直线与C交于A,B两点,交l于D.过A,B分别作x轴的平行线,分别交l于M,N两点.若AB=4FB,△AND的面积等于,则C的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案:D解析:画出图象如图所示,设|BF|=m,l与x轴的交点为F′,由AB=4FB,得|AB|=4m,|AF|=3m,根据抛物线定义,得|AM|=3m,|BN|=m,过点B作BG⊥AM,垂足为G,则|MG|=m,|AG|=2m,所以∠BAG=60°.所以|AD|=6m,F为AD的中点,|BD|=2m,|ND|=m,所以S△ADN=|AM|·|DN|=·3m·m=,所以m=,易知|FF′|=m=4,所以p=4.所以C的方程为y2=8x,故选D.技法7待定系数法9.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,求f(x)的解析式________.答案:f(x)=x2+2x+1解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.又 方程f(x)=0有两个相等实根,∴Δ=4-4c=0,解得c=1.故f(x)=x2+2x+1.10.衣柜里的樟脑丸,会因为挥发而体积变小,刚放入的新樟脑丸体积为a,经过t天后樟脑丸的体积V(t)与天数t的关系为V(t)=a·e-kt,若新樟脑丸经过80天后,体积变为a,则函数V(t)的解析式为________.答案:V(t)=a·(t≥0)解析:因为樟脑丸经过80天后,体积变为a...