单元质检卷六数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2018全国1,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.122.(2019宁夏高三联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则S3=()A.8B.7C.6D.43.(2019福建联考,12改编)在数列{an}中,a1=2,且an+an-1=nan-an-1+2(n≥2),令bn=(an-1)2,则b10=()A.50B.55C.60D.654.(2019贵州遵义模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a9=12a12+6,a2=4,若数列1Sn的前k项和为1011,则k=()A.11B.10C.9D.8二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=06.在数列{an}中,若an2−an-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”,下列对“等方差数列”的判断正确的是()A.若{an}是等差数列,则{an2}是等方差数列B.{(-1)n}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019浙江温州中学模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n+r,则a3-r=.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若a1=3,a5=-11,则a3=,S5=.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019湖北八校联考一,17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2+Sn对一切正整数n恒成立.(1)求a1和数列{an}的通项公式;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.10.(15分)(2019安徽宣城八校联考)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an2(n∈N*).(1)证明:数列{1+log2an}为等比数列;(2)设bn=n1+log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.11.(15分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-14an,其中n∈N*.(1)设bn=22an-1,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式;(2)设cn=4ann+1,数列{cnc¿¿}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<1cmcm+1对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检卷六数列(B)1.B因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.2.A因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2,则S3=8.故选A.3.B an+an-1=nan-an-1+2(n≥2),∴an2−an-12-2(an-an-1)=n,整理得(an-1)2−(an-1-1)2=n,由累加法得(an-1)2−(a1-1)2=n+(n-1)+…+2,又a1=2,∴bn=(an-1)2=n(n+1)2,可得b10=55.故选B.4.B设等差数列{an}的公差为d,则{a1+8d=12(a1+11d)+6,a1+d=4,解得{a1=2,d=2.∴Sn=2n+n(n-1)2×2=n2+n,∴1Sn=1n(n+1)=1n−1n+1,∴1S1+1S2+…+1Sk=1-12+12−13+…+1k−1k+1=1-1k+1=1011,解得k=10.故选B.5.AB因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确;当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误;又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB.6.BCD对于A选项,取an=n,则an+14−an4=(n+1)4-n4=[(n+1)2-n2]·[(n+1)2+n2]=(2n+1)(2n2+2n+1)不是常数,则{an2}不是等方差数列,故A错误;对于B选项,[(-1)n+1]2-[(-1)n]2=1-1=0为常数,则{(-1)n}是等方差数列,故B正确;对于C选项,若{an}是等方差数列,则存在常数p∈R,使得an+12−an2=p,则数列{an2}为等差数列,所以ak(n+1)2−akn2=kp,则数列{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列,故C正确;对于D选项,若数列{an}为等差数列,设其公差为d,则存在m∈R,使得an=dn+m,则an+12−an2=(an+1-an)(an+1+an)=d(2dn+2m+d)=2d2n+(2m+d)d,由于数列{an}也为等方差数列,所以,存在实数p,使得an+12−an2=p,则2d2n+(2m+d)d=p,对任意的n∈N*恒成立,则{2d2=0,(2m+d)d=p,得p=d=0,此时,数列{an}为常数列,故D正确,故选BCD.7.19等比数列前n项和公式具有特征Sn=aqn-a,据此可知,r=-1,则Sn=3n-1,a3=S3-S2=(33-1)-(32-1)=18,a3-r=19.8.-4-20依题意,a3=a1+a52=3-112=-4;S5=a1+a52×5=5a3=5×(-4)=-20.9.解(1)当n≥2时,an=2+Sn-1,与an+1=2+Sn相减得an+1=2an(n≥2).∴...
