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高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.2 直接证明与间接证明对点训练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.2 直接证明与间接证明对点训练 理-人教版高三全册数学试题_第1页
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2017高考数学一轮复习第十四章推理与证明14.2直接证明与间接证明对点训练理1.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案A解析因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设为方程x3+ax+b=0没有实根,故选A.2.已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…).记集合M={an|n∈N*}.(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M的元素个数的最大值.解(1)6,12,24.(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.由an+1=可归纳证明对任意的n≥k,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数.从而对任意的n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a1≤36,an=可归纳证明an≤36(n=2,3,…).因为a1是正整数,a2=所以a2是2的倍数.从而当n≥3时,an是4的倍数.如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数.因此当n≥3时,an∈{12,24,36}.这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数.因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32}.这时M的元素个数不超过8.当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.3.设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项的和.记bn=,n∈N*,其中c为实数.(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.证明由题意得,Sn=na+d.(1)由c=0,得bn==a+d.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以b=b1b4,即2=a,化简得d2-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a.因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有n3+n2+cd1n=c(d1-b1).令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,1D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,从而有由②,③得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,从而cd1=0.即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0.又因为cd1=0,所以c=0.2

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