第八节函数与方程【最新考纲】结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2101．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝lgx的零点是(1，0)．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0时没有零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×5．(2014·北京卷)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)解析：由题意f(1)＝－log21＝6>0，f(2)＝－log22＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0.故f(2)·f(4)<0.由零点存在性定理可知，包含f(x)零点的区间为(2，4)．答案：C一种思想转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．两点注意1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．三种方法判断函数零点个数的常用方法1．通过解方程来判断．2．根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．3．将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．一、选择题1．(2016·德州期末)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间为()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)解析：因为f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，故f(0)·f(1)<0，则f(x)在(0，1)内有零点．答案：C2．设函数f(x)＝logπx，函数g(x)＝sin2x，则f(x)与g(x)的图象的交点个数为()A．1B．2C．3D．0解析：作出f(x)，g(x)的图象，如图所示，可知有1个交点，故选A.答案：A3．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sinx，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数解析：因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C；又因为f(0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点且f(x)为奇函数，排除选项D.答案：B4．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是()A.B．(－∞，－1)∪C.D．(－∞，－1)解析：当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>.答案：B5．已知x0是f(x)＝＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)<0，f(x2)>0解析：在同一坐标系下作出函数f(x)＝，f(x)＝－的图象，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，>－，x∈(x0，0)时，<－，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0.答案：C二、填空题6．若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2，3)上有零点，则k＝________．解析：函数f(x)在(2，3)上单调递增，则有解得3
