第2课时直线与椭圆[A级基础巩固]1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．答案：A2．(2020·张家口市期末)椭圆＋＝1中，以点M(1，2)为中点的弦所在直线的斜率为()A.B.C.D．－解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆得两式相减得＋＝0，即＝－，所以－＝，又M(1，2)为弦AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，所以－＝，即＝－，所以弦所在的直线的斜率为－.答案：D3．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．1或2解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为>，所以a2＋b2<3.又a，b不同时为零，所以0
0，即t2<5，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号)．故选C.答案：C6．(2020·泰州市期末)已知直线y＝x－1与椭圆＋＝1交于A、B两点，则线段AB的长为________．解析：联立得7x2－8x－8＝0，设A、B横坐标为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝－，|AB|＝·|x1－x2|＝·＝×＝.答案：7．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆E的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：由已知得直线y＝(x＋c)过M、F1两点，所以直线MF1的斜率为，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝c，由点M在椭圆E上知，c＋c＝2a，故e＝＝－1.答案：－18．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________．解析：不妨取直线MN⊥x轴，椭圆＋y2＝1的左焦点F(－1，0)，令x＝－1，得y2＝，所以y＝±，所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，则＝＝2.答案：29．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点为F(－2，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解：(1)由题意，得解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，所以－2b>0)的右焦点为F(1，0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；2(2)设过定点T(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)由题意，得c＝1，所以a2＝b2＋1.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，可解得a2＝4，b2＝3，则椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)依题意知直线斜率存在，不妨设直线l的方程为y＝kx＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0.因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝48(4k2－1)>0，即k2>，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.因为∠AOB为锐角，所以OA·OB>0，即x1x2＋y1y2>0.所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，(1＋k2)·＋2k·＋4>0，>0，所以k2<，综上
