专题跟踪训练(十六)1．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.2．(2015·安徽卷)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．[解](1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝·AB·AC·sin60°＝.由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P－ABC的高，又PA＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.(2)证明：如图，在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN，又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，从而NC＝AC－AN＝，由MN∥PA，得＝＝.3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC×GD×BE＝x3＝.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.4．(2015·西城一模)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．(1)求证：AB∥平面SCD；(2)求证：SN⊥平面ABCD；(3)在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．[解](1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD，又因为AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD.(2)证明：因为AB⊥SA，AB⊥AD，SA∩AD＝A，所以AB⊥平面SAD，又因为SN⊂平面SAD，所以AB⊥SN.因为SA＝SD，且N为AD中点，所以SN⊥AD.又因为AB∩AD＝A，所以SN⊥平面ABCD.(3)存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD.理由如下：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP∥SN交SC于点P，连接PD，PB.因为SN⊥平面ABCD，所以FP⊥平面ABCD.又因为FP⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中，因为ND∥BC，所以＝＝.在△SNC中，因为FP∥SN，所以＝＝.则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时＝.
