考点集训(三十二)第32讲简单递推数列1．在数列{an}中，若a1＝1，且an＋am＝an＋m(n，m∈N*)，则an＝A．nB．2nC．n2D．n32．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝A．－16B．16C．31D．323．已知数列满足an＋1＝，若a1＝，则a2017＝A.B．2C．－1D．14．在数列{an}中，若a1＝1，an＝·an＋1，则an＝____________．5．已知a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则an＝____________．6．已知数列与满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)bn，n∈N*.(1)若a1＝1，a2＝2，求b1，b2；(2)若an＝，求证：bn>.7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)．(1)问：数列是否为等差数列？并证明你的结论；(2)求Sn和an；8．数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．第32讲简单递推数列【考点集训】1．A2.B3.A4.5.6．【解析】(1)当n＝1时，有a1＝2b1＝1，所以b1＝.当n＝2时，有a1＋2a2＝(2×3)b2.因为a1＝1，a2＝2，所以b2＝.(2)因为an＝，所以nan＝n·＝n＋1.所以a1＋2a2＋…＋nan＝2＋3＋…＋(n＋1)＝＝n(n＋1)bn.所以bn＝·＝>.7．【解析】(1)由已知有S1＝a1＝，＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，即是以2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得＝2＋(n－1)·2＝2n，Sn＝，当n≥2时，an＝－2SnSn－1＝－.当n＝1时，a1＝，不满足此式．所以an＝8．【解析】(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
