第七节立体几何中的向量方法A级·基础过关|固根基|1.(2019年全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．解：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，CB＝(1，0，0)，CE＝(1，－1，1)，CC1＝(0，0，2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝－1，则x＝0，z＝－1，所以n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即所以可取m＝(1，1，0)．于是cos〈n，m〉＝＝－.所以，二面角B－EC－C1的正弦值为.2．(2019届太原市一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PA⊥BD．(1)求证：PB＝PD；(2)若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接PO， 四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OD．又PA⊥BD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝1A，∴BD⊥平面PAC．又PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO.又OB＝OD，∴PB＝PD．(2)设PD的中点为Q，连接AQ，EQ， E为PC的中点，∴EQ∥CD，EQ＝CD．又AF∥CD，AB＝CD，F为AB的中点，∴AF＝AB＝CD，∴EQ∥AF，EQ＝AF，∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ. EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD．又PD⊂平面PCD，∴AQ⊥PD． Q是PD的中点，∴AP＝AD＝. AQ⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AQ⊥CD．又AD⊥CD，AQ∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．又PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA. PA⊥BD，BD∩CD＝D，BD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，P(0，0，)，Q，∴AQ＝，PB＝(，0，－)． AQ⊥平面PCD，∴AQ为平面PCD的一个法向量，∴cos〈AQ，PB〉＝＝－.设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AQ，PB〉|＝，∴直线PB与平面PCD所成的角为.3．(2020届广州四校联考)如图1，已知三棱锥P－ABC，其展开图如图2所示，其中四边形ABCD是边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PA的中点，求二面角P－BC－M的余弦值．解：(1)证明：如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PA＝PB＝PC＝，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC．因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．(2)由(1)可知PO⊥OB，PO⊥AC，OB⊥AC，所以以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，1，0)，A(－1，0，0)，P(0，0，1)，M－，0，，所以BC＝(1，－1，0)，PC＝(1，0，－1)，MC＝，0，－.2设平面MBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则∴令x1＝1，得y1＝1，z1＝3，即m＝(1，1，3)为平面MBC的一个法向量．设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则∴令x2＝1，得y2＝1，z2＝1，即n＝(1，1，1)为平面PBC的一个法向量．cos〈n，m〉＝＝＝.由图可知，二面角P－BC－M为锐角，故其余弦值为.B级·素养提升|练能力|4.(2019届辽宁五校联考)如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，平面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE上，且EF＝λFA.(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；(2)当λ＝1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值．解：(1)当λ＝时，CE∥平面BDF.证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF， CD∥AB，AB＝2CD，∴＝＝. EF＝FA，∴＝＝，∴GF∥CE.又CE⊄平面BDF，GF⊂平面BDF，∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中点O，连接EO，则EO⊥AB， 平面...
