第二讲椭圆、双曲线与抛物线第一部分椭圆一、椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)若2a＞|F1F2|，则集合P为椭圆；(2)若2a＝|F1F2|，则集合P为线段；(3)若2a＜|F1F2|，则集合P为空集．二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤x≤b－b≤y≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.1基础自测1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10【解析】依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.【答案】D2．“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】要使方程＋＝1表示椭圆，应满足5－m＞0，m＋3＞0且5－m≠m＋3，解之得－3＜m＜5且m≠1，∴“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．【答案】B3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为()A．－21B．21C．－或21D.或21【解析】若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.【答案】C4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为________．【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由于＝，故a2＝5c2，b2＝4c2，椭圆方程为＋＝1，P(－5,4)在椭圆上代入解得c2＝9，于是所求椭圆的方程为＋＝1.【答案】＋＝1考点一椭圆的定义与标准方程例[2014·全国卷]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案：4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.方法与技巧1.1求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法.2确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值.运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程.2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正余弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|整体代换.跟踪练习(2013·大纲全国卷)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】由题意知椭圆焦点在x轴上，且c＝1，可设C的方程为＋＝1(a＞1)，由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长|AB|＝3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的方程为＋＝1.【答案】C考点二椭圆的几何性质例(1)(2013·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为()A.B.C.D.(2)已知椭圆：＋＝1(0＜b＜3)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为8，则b的值是()A．2B.C.D.【思路点拨】(1)利用余弦定理确定AF，进而判定△ABF的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率．(2)因△AF2B的周长等于两个长轴长，欲使|BF2|＋|AF2|的值最大，只需|AB|最小，利用椭圆的性质可求得b的值．【尝试解答】(1)在△ABF中，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，则|AF|＝6.由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝|OF|＝＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，有平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|＝|AF1|＝8.由椭圆的性质可知|AF|...
