课时限时检测(十五)导数的应用(二)(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难用导数证明不等式2,7,10用导数判断方程解的个数14,6生活中的优化问题5,11综合应用3,8912一、选择题(每小题5分，共30分)1．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A．－2＜m＜2B．－2≤m≤2C．m＜－2或m＞2D．m≤－2或m≥2【解析】y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1，∴y极大＝2，y极小＝－2，∴－2＜m＜2.【答案】A2．在R上可导的函数f(x)的图象如图2－12－1所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为()图2－12－1A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】(1)当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f′(x)＞0，由x·f′(x)＜0，得x＜0，∴x·f′(x)＜0的范围是(－∞，－1)．(2)当－1＜x＜1时，f(x)递减，∴f′(x)＜0.由x·f′(x)＜0，得x＞0，∴0＜x＜1.故x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．【答案】A3．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为()A.B.C．[1，e]D．(1，e)【解析】f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0＜x＜时，f′(x)＞0，∴f(x)是上的增函数．∴f(x)的最大值为f＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.∴f(x)的值域为.1【答案】A4．(2014·大连模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】由已知，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2＞0，∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，又g(－1)＝0，∴f(x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．【答案】B图2－12－25．如图2－12－2，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为()【解析】由导数的定义知，S′(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率．如图，正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′(t)也应逐渐增大；当露出的是区域Ⅱ时，此时的S(t)应突然增大，然后增长速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S′(t)＞0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S′(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.【答案】A6．(2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，00.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()A．2B．4C．5D．8【解析】 f′(x)>0，2当0，∴f(x)在上是增函数．当0
