题型强化练4解答题组合练(B)1.(2020山东泰安三模,18)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2A+cos2B+2sinAsinB=1+cos2C.(1)求角C.(2)设D为边AB的中点,△ABC的面积为2,求CD2的最小值.2.(2020山东烟台一模,18)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项均为正数的等比数列,a1=b4,b2=8,b1-3b3=4,是否存在正整数k,使得数列{1Sn}的前k项和Tk>1516,若存在,求出k的最小值;若不存在,说明理由.从①S4=20,②S3=2a3,③3a3-a4=b2这三个条件中任选一个,补充到上面问题中并作答.3.(2020山东德州一模,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD,E,M分别为棱AD,PD的中点,PA⊥CD.(1)证明:平面MCE∥平面PAB;(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.4.(2020山东济南三模,20)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包.面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g,上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1000g,标准差为50g的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1000g的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24468g.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:g)981972966992101010089549529699789891001009579529699819849529591698710061000977966尽管上述数据都落在(950,1050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由.附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量Y~Nμ,σ225;②若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<η<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<η<μ+3σ)=0.9973;③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.题型强化练4解答题组合练(B)1.解(1)由已知可得1-2sin2A+1-2sin2B+2sinAsinB=1+1-2sin2C,化简得ab=a2+b2-c2,所以cosC=a2+b2-c22ab=12.又C∈(0,π),所以C=π3.(2)因为S△ABC=12absinC,即2=12ab·❑√32,所以ab=8❑√33.⃗CD=12¿),所以⃗CD2=14¿+2⃗CA·⃗CB),则⃗CD2=14(b2+a2+2abcosC)=14(b2+a2+ab)≥14(2ab+ab)=2❑√3,当且仅当a=b时取等号,所以CD2的最小值为2❑√3.2.解存在正整数k满足题意.设等比数列{bn}的公比为q(q>0),则b1=8q,b3=8q,于是8q-3×8q=4,即6q2+q-2=0,解得q=12,q=-23(舍去).若选①:因为b2=8,q=12,则a1=b4=2.又S4=4a1+4×32d=20,解得d=2.所以Sn=2n+n(n-1)2×2=n2+n,则1Sn=1n(n+1)=1n−1n+1.于是Tk=1S1+1S2+…+1Sk=(1-12)+(12-13)+…+(1k-1k+1)=1-1k+1,令1-1k+1>1516,解得k>15.因为k为正整数,所以k的最小值为16.若选②:因为b2=8,q=12,则a1=b4=2.又3a1+3×22d=2(a1+2d),解得d=2.所以Sn=2n+n(n-1)2×2=n2+n,则1Sn=1n(n+1)=1n−1n+1.于是Tk=1S1+1S2+…+1Sk=1-12+12−13+…+1k−1k+1=1-1k+1,令1-1k+1>1516,解得k>15.因为k为正整数,所以k的最小值为16.若选③:因为b2=8,q=12,则a1=b4=2.又3(a1+2d)-(a1+3d)=8,解得d=43.于是Sn=2n+n(n-1)2×43=23n2+43n,1Sn=32×1n(n+2)=341n−1n+2,于是Tk=341-13+12−14+…+1k-1−1k+1+1k−1k+2=34(1+12-1k+1-1k+2)=98−34(1k+1+1k+2),令Tk>1516,得1k+1+1k+2<14,整理得k2-5k-10>0,解得k>5+❑√652或k<5-❑√652,因为k为正整数,所以k≥7,即k的最小值为7.3.(1)证明因为点E为AD的中点,BC=12AD=AE,AD∥BC,所以四边形ABCE为平行四边形,即EC∥AB.因为E,M分别为棱AD,PD的中点,所以EM∥AP.又EM∩EC=E,AP∩AP=A,所以平面MCE∥平面PAB.(2)解如图所示.因为PA⊥AB,PA⊥CD,AB与CD为相交直线,所以AP⊥平面ABCD,不妨设AD=2,则BC=CD=12AD=1.以与AD垂直的直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AP=h,A(0,0,0),D(0,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,h),E(0,1,0),从而⃗PD=(0,2,-h),⃗CD=(1,0,0).设平面PCD的法向量记为m=(x1,y1,z1),则{m·⃗PD=0,m·⃗CD=0,可得{2y1-hz1=0,x1=0.令y1=1,则z1=2h,所以m=(0,1,2h).又平面ACD的法向量为(0,0,1),二面角P-CD-A的大小为4...
