课时限时检测(二十六)平面向量基本定理及坐标表示(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难平面向量基本定理及应用812平面向量坐标运算1,35向量共线坐标运算2,4,710综合应用6,9,11一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2012·广东高考)若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)【解析】∵CA＝(4,7)，∴AC＝(－4，－7)．∵BC＝BA＋AC，∴BC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．【答案】A2．(2013·陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－B.C．－或D．0【解析】由a∥b⇒m2＝1×2⇒m＝或m＝－.【答案】C3．(2014·沈阳模拟)已知向量m＝(2,0)，n＝.在△ABC中，AB＝2m＋2n，AC＝2m－6n，D是BC边的中点，则|AD|等于()A．2B．4C．6D．8【解析】由题意知AB＋AC＝2AD，∴AD＝(AB＋AC)＝2m－2n＝2(2,0)－2＝(1，－)．∴|AD|＝＝2.【答案】A4．(2014·绍兴模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围()A．(0,1)B.C．(－1,0)D.【解析】由题意可知B、C、O三点共线，所以设BO＝tBC，1＜t＜2.又AO＝AB＋BO＝AB＋tBC＝AB＋t(AC－AB)＝(1－t)AB＋tAC，∴－1＜1－t＜0，即－1＜x＜0.【答案】C5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)1【解析】4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8,18)，设向量c＝(x，y)，依题意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.【答案】D6．(2014·洛阳模拟)△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.B.C.D.【解析】由p∥q知(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∴C＝.【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．【解析】AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.【答案】8．(2014·徐州模拟)在△ABC中，若点D是边AB上靠近点B的三等分点，若CB＝a，CA＝b，则CD等于________．【解析】∵D是靠近点B的边AB上的三等分点，∴BD＝BA，CD＝CB＋BD，且BA＝CA－CB＝b－a，∴CD＝CB＋BA＝a＋(b－a)＝a＋b.【答案】a＋b9．(2014·大庆模拟)已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为________．【解析】由题意知OA＝(－3,0)，OB＝(0，)，则OC＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.【答案】1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设坐标平面上有三点A，B，C，i，j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A，B，C三点共线．【解】法一假设满足条件的m存在，由A，B，C三点共线，得AB∥BC，∴存在实数λ，使AB＝λBC，即i－2j＝λ(i＋mj)，∴∴m＝－2.∴当m＝－2时，A，B，C三点共线．法二假设满足条件的m存在，根据题意可知i＝(1,0)，j＝(0,1)．∴AB＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A，B，C三点共线，得AB∥BC，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2.2∴当m＝－2时，A，B，C三点共线．11．(12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB(t∈R)，问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．【解】(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；若P在第二、四象限角平分线上，则1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－.(2)OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四边形，则OA＝PB，即此方程组无解．所以四边形OABP不可能为平行四边形．图4－2－612．(13分)(2014·浏阳模拟)如图4－2－6，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．【解】(1)OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ.(2)证明一方面，由(1)，得OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②而OA，OB不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．3
