§8.6立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的．(×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(√)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．(×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)1．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则直线l与平面α的位置关系为________．答案l∥α或lα2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是________．①P1(2,3,3)②P2(－2,0,1)③P3(－4,4,0)④P4(3，－3,4)答案①解析逐一验证法，对于①，MP1＝(1,4,1)，∴MP1·n＝6－12＋6＝0，∴MP1⊥n，∴点P1在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．答案，－，4解析由题意知，BP⊥AB，BP⊥BC.所以即解得x＝，y＝－，z＝4.4．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.答案2∶3∶(－4)解析 AB＝(1，－3，－)，AC＝(－2，－1，－)，a·AB＝0，a·AC＝0，∴∴x∶y∶z＝y∶y∶(－y)＝2∶3∶(－4).题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.思维点拨证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量．证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为AQ＝3QC，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P，所以PQ＝.又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故PQ·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连结OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)． CF＝CD，设点F坐标为(x，y,0)，则(x－x0，y－y0,0)＝(－x0，－y0,0)，∴∴OF＝(x0，＋y0,0)又由证法一知PQ＝(x0，＋y0,0)，∴OF＝PQ，∴PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD.思维升华用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．方法一(1)证明如图(1)，连结AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体...
