第4讲离散型随机变量及其概率分布一、填空题1．设离散型随机变量X的分布列为X012P则(1)P(X≤)＝________．(2)P＝________．(3)P(1≤X≤3)＝________．解析(1)P(X≤)＝P(0)＝；(2)P＝P(1)＝；(3)P(1≤X≤3)＝P(1)＋P(2)＝＋＝.答案(1)(2)(3)2．设随机变量X的概率分布P(X＝k)＝，k＝0、1、2、3，则c＝________.解析由P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1得：＋＋＋＝1，∴c＝.答案3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________．答案4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．解析设X的概率分布为：X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝.答案5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于________．解析“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C92＝C102.答案C1026．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝为常数，k＝1，2，…，则a＝________．解析由分布列的性质知：＋＋…＋＋…＝1，∴a·＝1，解得a＝4.答案47．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于________．解析P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝.答案8．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．解析用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．当X＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝＝.答案9.如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.解析法一由已知，X的取值为7,8,9,10， P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，∴X的概率分布为X78910P∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝.法二P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.答案10．现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币，另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀的硬币抛出后正面出现的概率为，现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面次数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．解析抛掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面的概率均为，易得ξ＝0，1，2，3，由于各枚出现正反面的概率是相互独立的，所以P(ξ＝0)＝××＝；P(ξ＝1)＝C×××＋××＝；P(ξ＝2)＝C×××＋C×××＝；P(ξ＝3)＝××＝.故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.答案二、解答题11．鲁川在鱼缸中养了3条白色、2条红色和n条黑色金鱼，现从中任取2条金鱼进行观察，每取得1条白色金鱼得1分，每取得1条红色金鱼得2分，每取得1条黑色金鱼得0分，用X表示所得的分数，已知得0分的概率为，(1)求鱼缸中黑色金鱼的条数n；(2)求X的概率分布．解(1)因为P(X＝0)＝＝，所以n2－3n－4＝0，解得n＝4(n＝－1舍去)．即鱼缸中有4条黑色金鱼．(2)由题意，得X的可能取值为0,1,2,3,4.因为P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以X的概率分布为X01234P12．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．解(1) X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.∴X的分布列为X0123P(2) 得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X， X的可能取值为0,1,2,3.∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为P(η＝6)＝P(X＝0)＝，P(η＝9)＝P(X＝1)＝，P(η＝12)＝P(X＝2)＝，P(η＝15)＝P(X＝3)＝.∴得分η的分布列为η691215P13．第26届世界大学生夏季运动...
