高考数学复习点拨 浅谈从k到k+1的转化策略VIP免费

浅谈从k到1k的转化策略在应用数学归纳法证题时，关键的一点是第二步证明当“1nk”时命题成立时，必须用上“nk”时命题成立的归纳假设.这就需要从“1nk”的形式中合理地分离出“nk”的形式，或者合理地直接达到分离、代入归纳假设的目的，这是证题中的重点和难点.其常见转化策略如下：1、直加或直乘例1求证2(1)(2)(32)(21)()nnnnnnN．证明：（1）当1n时，左边1，右边1，即当1n时，等式成立；（2）假设当nk时，等式成立，即(1)(2)(32)(31)3(31)kkkkkkk(1)(2)(32)(31)3(31)kkkkkkkk22(21)(31)3(31)441kkkkkkk2[2(1)1]k．这就证明了当1nk时，等式也成立．由（1），（2）可知，对任意nN等式都成立．评注：通过直加，直接分离出(1)(2)(32)kkkk，然后代换成2(21)k，从而达到了代入归纳假设的目的．例2求证(1)(2)()213(21)()nnnnnnnN····．证明：（1）当1n时，左边2，右边2，即当1n时，等式成立；（2）假设当nk时，等式成立，即(1)(2)()213(21)kkkkkk··．那么(2)()(21)(22)kkkkk(21)(22)213(21)1kkkkk····1213(21)[2(1)1]kkk····．即当1nk时，等式也成立．由（1），（2）可知，对任何nN等式都成立．评注：通过直乘，直接分离出(1)(2)()kkkk，然后代换成213(21)kk····，从而达到了代入归纳假设的目的．2、拆项或添项就是从“1nk”的形式中，通过拆项或添项分离出“nk”的形式．例3求证(31)71nn·，()nN能被9整除．证明：（1）当1n时，47127能被9整除．用心爱心专心（2）假设当nk时，(31)71kk·能被9整除，那么，1[3(1)1]71kk·[(31)3](16)71kk··(31)7(31)672171kkkkk····[(31)71]367(621)7kkkkk····[(31)71]187277kkkkk···．由上式中的三项都能被9整除可知，当1nk时结论成立；由（1），（2）可知，对任何nN结论都成立．评注：这里通过拆项，然后凑出能被9整除的部分(31)71kk·，从而可达到用归纳假设代换的目的．例4用数学归纳法证明：()nnxynN能被xy整除．证明：（1）当1n时，xy能被xy整除．（2）假设当nk时，kkxy能被xy整除，那么11()()kkkkkkkkkxyxxxyxyyyxxyyxy··．因为kkxy与xy都能被xy整除，所以()()kkkxxyyxy也能被xy整除，即当1nk时，结论成立．由（1）和（2）可知，命题对任何nN都成立．3、放缩用数学归纳法证明不等式时，对不等式的一边进行放大（或缩小）,从而合理地证到目标式.例5求证111112322nn．证明：（1）当1n时，左边1，右边12，左边右边，即当1n时，不等式成立．（2）假设当nk时，不等式成立，即111112322kk．那么，111111111112232212222kkkkkkk．用心爱心专心（括号前以归纳假设代换，括号内的这12k项都缩为最小项12k）这就证明了当1nk时不等式也成立．由（1），（2）可知，对任何nN不等式都成立．评注：在放缩中保持了归纳假设这部分11111232k不变，然后代换成2k，从而达到了归纳假设代换的目的．4、作差可把关于和正整数N有关的部分记为()fn，在证明“nk”到“1nk”命题成立时，通过作差(1)()fkfk，然后代入归纳假设，加以整理而达到目的．例6求证21113()122nnnnN≥．证明：记2111()12fnnnn，（1）当1n时，13(1)122f．当2n时，11132013(2)(1)1023822802ff．所以3(2)(1)2ff．因此，当12nn，时不等式成立．（2）假设当(2)nkk≥时，不等式成立，即2113()122fkkk1k．又22221111111(1)1221222(1)fkkkkkkkk，...