第三节空间点、直线、平面之间的位置关系【最新考纲】1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：(0，]．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”．)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案：C3．(经典再现)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．答案：A4．(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：法一 l与l1，l2分别共面．故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．答案：D5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．解析：连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，∴cos∠D1FD＝＝.答案：两点注意1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．两种方法异面直线的判定方法：1．判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．2．反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得出两直线异面．三个作用1．公理1的作用：(1)判断直线在平面内；(2)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(3)由直线的“直”刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．A级基础巩固一、选择题1．给出以下命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①中显然是正确的；②中若A，B，C三点共线则A，B，C，D，E五点不一定共面，不正确；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确；④...
