高中数学例说数列问题函数化专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学例说数列问题函数化数列是一种特殊的函数：定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径，本文就此作一初步探讨。1.数列与函数的明显关系设等差数列an的公差为d，则由它的通项公式aanddnadn111()()可知，当d0时，an是n的一次函数；由前n项和的公式Snannddnadnn1211222()可知当d0时，Sn是n的二次函数。设等比数列an的公比为q，则由它的通项公式：aaqaqqnnn111；前n项和的公式：Saqqaqqaqnnn1111111()可知，当qq01且时，aSnn，是与n的指数函数相关的函数。数列和函数的这种显见关系为我们数列问题函数化解题提供了可行性。2.数列问题函数化（1）利用一次函数例1.已知an是递增数列且对于任意的正整数n，annn2恒成立，求实数的取值范围。解：由数列an递增得到：aann10对于一切nN恒成立，即210n恒成立，所以()21n对一切nN*恒成立，设fnn()()21，则只需求出fn()的最大值即可，显然fn()有最大值f()13，所以的取值范围是：3。（2）利用二次函数例2.已知等差数列an的前n项和Sn，且SASApqNpqpq，，且()*，求Spq。解：设Sfnanbnn()2（当a0时），因为fpfqA()()所以fn()的图象对称轴方程是npq2因为点（0，f(0)）与点(())pqfpq，关于直线npq2对称所以fpqf()()00即Spq0当a0时，an为常数列，可知b0即an0，所以Spq0（3）利用函数理论例3.已知Snnnn111212…。（1）求证数列Sn是递增数列；用心爱心专心（2）对于大于1的一切自然数，不等式111212112123nnnaa…log()恒成立，求实数a的取值范围。证明：（1）因为SSnn11213121111212121122111211220nnnnnnnnnnn……()所以数列Sn是递增数列。（2）设fnnnn()111212…，则由（1）的结论可知，fn()是关于n的单调递增函数，要使不等式111212112123nnnaa…log()恒成立，只要求出fn()的最小值即可因为nnN2且*所以fn()的最小值为：f()21314712所以由712112123log()aa解得1512a所以实数a的取值范围是：1512，例4.已知数列an满足：2301131aaanNannn()()*且，。（1）证明an()01，；（2）试比较an与an1的大小；（3）是否存在正实数c，使02acacnn对一切nN*恒成立？若存在，求出c的取值范围，若不存在，说明理由。证明：（1）由已知条件得到：aaannn131232它是关于an的三次函数令fxxx()12323则fx()的导函数fxxx'()()323232122则当x01，时，fx'()0所以fx()在，01上是递增函数若an()01，，则afaffnn101()(()())，用心爱心专心又ff()()0011，所以必有011an因此由a101()，及数学归纳法易证对一切nN*都有an()01，（证明过程略）。（2）因为由（1）知an()01，所以aaaaannnnn1312321212121032aaaannnn()所以aann1（3）因为an()01，且c0所以02acacnnacacacnnn02且()不等式can3对一切nN*恒成立，又由（2）的结论可知，数列an是递增数列，所以只要031ca即可满足条件，故存在正实数ca031，，使得不等式02acacnn对一切nN*恒成立。（4）数列应用题化归到函数问题例5.在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？解：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为a...