课时限时检测(二十八)平面向量应用举例(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难向量在平面几何中的应用1,2,49向量在三角函数中的应用5,8,11向量在力学中的应用7综合应用310,126一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2014·广州模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC一定是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解析】 |OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，∴|CB|＝|AB＋AC|，∴|AB－AC|＝|AB＋AC|，∴AB·AC＝0，即AB⊥AC，从而△ABC是直角三角形．【答案】B2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．8B．4C．2D．1【解析】BC2＝16，|BC|＝4，又|AB＋AC|＝|AB－AC|，所以AB·AC＝0，所以△ABC为直角三角形．又M为BC的中点，所以|AM|＝|BC|＝2，故选C.【答案】C3．平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于()A.B.C.D.【解析】 cos〈a，b〉＝，∴sin〈a，b〉＝＝＝，S△OAB＝|OA||OB|sin〈OA，OB〉＝|a||b|sin〈a，b〉＝.【答案】C图4－4－24．(2014·德州模拟)如图4－4－2，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分1点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b【解析】 点C、D是半圆弧AB的两个三等分点，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∠DOB＝60°，又由OD＝AC可知ACDO是平行四边形，∴AD＝AC＋AO＝AC＋AB＝b＋a.【答案】D图4－4－35．(2014·长沙模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图4－4－3所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.B.πC.πD.π【解析】 ＝－＝，∴T＝π，∴M，N，即，又OM·ON＝×＋A·(－A)＝0，∴A＝π.【答案】B6．(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.－1B.C.＋1D.＋2【解析】 a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又a·b＝0，∴a⊥b，∴|a＋b|＝.∴|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1.∴c2－2c·(a＋b)＋1＝0.∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∴c2＋1＝2|c||a＋b|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．∴c2＋1＝2|c|cosθ≤2|c|.∴c2－2|c|＋1≤0.∴－1≤|c|≤＋1.∴|c|的最大值为＋1.【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．【解析】如图所示，υ1表示河水的速度，υ2表示小船在静水中的速度，υ表示小船的2实际速度，则|υ2|＝＝＝2(m/s)．【答案】2m/s8．在△ABC中，∠A＝，BC＝，向量m＝，n＝(1，tanB)，且m⊥n，则边AC的长为________．【解析】 m⊥n，∴sinB＝，由正弦定理知＝，∴AC＝＝.【答案】9．(2012·江苏高考)如图4－4－4，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．图4－4－4【解析】法一以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故AB＝(，0)，AF＝(x,2)，AE＝(，1)，BF＝(x－，2)，∴AB·AF＝(，0)·(x,2)＝x.又AB·AF＝，∴x＝1，∴BF＝(1－，2)．∴AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.法二设DF＝xAB，则CF＝(x－1)AB.AB·AF＝AB·(AD＋DF)＝AB·(AD＋xAB)＝xAB2＝2x，∴x＝.∴BF＝BC＋CF＝BC＋(－1)AB.∴AE·BF＝(AB＋BE)·[BC＋AB]＝＝AB2＋BC2＝×2＋×4＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知平行四边形ABCD中，M为AB中点，点N在BD上，且BN＝BD，利用向量的方法证明：M、N、C三点共线．【证明】如图所示，设AB＝a，AD＝b，则MN＝MB＋BN＝AB＋BD＝a＋(AD－AB)＝a＋(b－a)＝a＋b.MC＝MB＋BC＝AB＋AD＝a＋b，所以MC＝3MN，又因为M为公共点，3所以M、N、C三点共线．11．(12分)(2014·广州市海珠区综合测试)设向量a＝(6cosx，－)，b＝(cosx，sin2x)，x∈.(1)若|a|＝2，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最值．【解】(1)|a|＝2，∴＝2，∴cos2x＝，∴cosx＝±， x∈，∴cosx＞0，∴cosx＝，∴x＝(2)f(x)＝a...
