热点跟踪训练41．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，AB＝BC＝1，∠BAD＝120°，PB＝PC＝，PA＝2，E，F分别是AD，PD的中点．(1)证明：平面EFC⊥平面PBC；(2)求二面角A-BC-P的余弦值．(1)证明：连接AC，因为ABCD是平行四边形，AB＝BC＝1，∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC是等边三角形，因为E是AD的中点，所以CE⊥AD.因为AD∥BC，所以CE⊥BC.以C为坐标原点，分别以CE，CB的方向为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.则C(0，0，0)，E，A，B(0，1，0)，D，设P(x，y，z)(x<0，y>0，z>0)，由|PB|2＝|PC|2＝2，|PA|2＝4，可得x＝－，y＝，z＝1，所以P，因为F是PD的中点，所以F，因为CB·CF＝0，所以CB⊥CF，因为CE⊥BC，CE∩CF＝C，所以BC⊥平面EFC，因为BC⊂平面PBC，所以平面EFC⊥平面PBC.(2)解：由(1)知，CB＝(0，1，0)，CP＝，设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则令x＝－2，则z＝－，y＝0，则n＝(－2，0，－)，设m＝(0，0，1)，易知m是平面ABC的一个法向量，所以cos〈m，n〉＝＝－，又易知二面角A-BC-P为钝二面角，所以二面角A-BC-P的余弦值为－.2．(2020·安徽六安一中月考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分1别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小．(2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)由折叠的性质得CD⊥DE，A1D⊥DE，又CD∩A1D＝D，所以DE⊥平面A1CD.又因为A1C⊂平面A1CD，所以A1C⊥DE，又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1C⊥平面BCDE.如图所示建系，则C(0，0，0)，D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，E(－2，2，0)，B(0，3，0)，所以A1B＝(0，3，－2)，A1E＝(－2，2，－2)，设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取z＝，则x＝－1，y＝2，所以n＝(－1，2，)．又因为M(－1，0，)，所以CM＝(－1，0，)，所以cos〈CM，n〉＝＝＝.所以CM与平面A1BE所成角的大小为45°.(2)假设线段BC上存在点P满足条件，设P点坐标为(0，a，0)，则a∈[0，3]，所以A1P＝(0，a，－2)，DP＝(2，a，0)，设平面A1DP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则取y1＝6，则x1＝－3a，z1＝a，所以n1＝(－3a，6，a)．若平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0，所以3a＋12＋3a＝0，即6a＝－12，所以a＝－2，因为0≤a≤3，所以a＝－2舍去．所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足2AB⊥AD，BC∥AD且BC＝4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且＝λ.(1)求证：平面ADM⊥平面PBC.(2)是否存在实数λ，使得二面角P-DE-B的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．(1)证明：取PB的中点N，连接MN，AN，因为M是PC的中点，所以MN∥BC，MN＝BC＝2.又BC∥AD，所以MN∥AD，MN＝AD，所以四边形ADMN为平行四边形．因为AP⊥AD，AB⊥AD，AP∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥AN，所以AN⊥MN.因为AP＝AB，所以AN⊥PB，因为MN∩PB＝N，所以AN⊥平面PBC.因为AN⊂平面ADM，所以平面ADM⊥平面PBC.(2)解：存在符合条件的λ.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设BE＝t，则E(2，t，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，从而PD＝(0，2，－2)，DE＝(2，t－2，0)，设平面PDE的法向量为n1＝(x，y，z)，即令y＝z＝2，解得x＝2－t，所以n1＝(2－t，2，2)，又平面DEB即为平面ABCD，故其一个法向量为n2＝(0，0，1)，则|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得t＝2，可知λ＝1.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，AB＝，AD＝2，AP＝3.(1)求证：平面PCA⊥平面PCD；(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角E-AB-D3的余弦值．(1)证明：在平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝，AD＝2，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝9，所以AC2＋CD2＝AD2，所以∠ACD＝90°，所以CD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD....
