三角形定形问题解法例谈沈杰根据三角形的边角关系来判断三角形的形状是高考中经常出现的题型，解这类问题的一般方法是：把条件中边和角的关系式转化为单纯的边或角的关系式，然后通过代数方法或三角方法进行化简，依据得出的边或角之间的关系判断三角形的形状。结论通常为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形。正弦定理和余弦定理在边角转化过程中起桥梁和纽带作用，而灵活运用三角函数公式和三角形的有关性质则有助于解题过程的顺利进行。一、直接进行三角变换例1.在△ABC中，若，判断△ABC的形状。解：由A+B+C=，知，则由题意知，整理得故，△ABC为直角三角形评注：由于已知条件原本就是三角函数关系式，所以无需进行边角之间的转化，直接进行三角函数式的恒等变形即可。二、将边转化为角例2.已知△ABC的三条边长为a、b、c，且2b=a+c，求∠B的最大值，并指出此时△ABC的形状。解：由条件2b=a+c结合正弦定理得化简得因为所以当且仅当时取等号即，用心爱心专心115号编辑1则所以∠B的最大值为，此时△ABC为等边三角形评注：利用正弦定理将边转换成角，然后运用三角变换即可解决。三、将角转化为边例3.在△ABC中，，试判断△ABC的形状。解：由正弦定理，得，设a=2t，b=3t，c=4t(t>0)由余弦定理，得因为所以故△ABC为钝角三角形评注：首先运用正弦定理把角转化为边，找出边与边之间的联系，然后借助余弦定理判断角的范围。四、利用三角函数的有界性例4.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状。解：依题设有而所以必有即且A=B故△ABC为等腰直角三角形五、利用面积公式例5.已知在△ABC中，，试判断△ABC的形状。解：由得由结合余弦定理得用心爱心专心115号编辑2整理得因为a、b、c>0，所以有，故△ABC为等边三角形。评注：在解题过程中，面积公式起到联系边与角的桥梁作用。用心爱心专心115号编辑3
