课时作业23平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．(2015·衡水模拟)下列关于向量的叙述不正确的是()A．向量AB的相反向量是BAB．模长为1的向量是单位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则AB＝CDD．若向量a与b满足关系a＋b＝0，则a与b共线解析：A，B显然正确；对于C，如图，A，B，C，D四点满足条件，但AB≠CD，所以C不正确；对于D，由a＋b＝0，得b＝－a，由共线向量定理知，a与b共线，所以D正确．答案：C2．(2014·汕头二模)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B.BEC.ADD.CF解析：由于BA＝DE，故BA＋CD＋EF＝CD＋DE＋EF＝CF.答案：D3．(2014·南平模拟)如图，点M是△ABC的重心，则MA＋MB－MC为()A．0B．4MEC．4MDD．4MF解析：点M是△ABC的重心，所以有F点是AB的中点，MF＝CF＝CM.因为MA＋MB＝2MF，所以MA＋MB－MC＝2MF＋CM＝4MF.答案：D4．(2015·皖西七校联考)若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得x2OA1＋xOB＝2BC成立，则满足条件的实数x的集合为()A．{－1,0}B．{，}C．{，}D．{－1}解析：因为x2OA＋xOB＝2BC，所以x2OA＋xOB＝2(OC－OB)⇒OA＋OB＝OC.又因为A，B，C三点共线，则＋＝1⇒＋＝0⇒x＝0或x＝－1；当x＝0时三点重合，不符合题意，舍去．所以x＝－1，选D.答案：D5．(2014·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为△ABC的()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析：∵O是△ABC的重心，∴OA＋OB＋OC＝0，∴OP＝＝OC，∴点P是线段OC的中点，即是AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.答案：B6．(2015·兰州质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为()A.B.C.D.解析：设AB的中点为D，由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM＝2MD.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.答案：C二、填空题7．(2014·四川资阳模拟)在Rt△ABC中，C＝，B＝，CA＝1，则|2AC－AB|＝__________.解析：作AC′＝2AC，则2AC－AB＝BC′，由题设可知△ABC′是正三角形，所以|2AC－AB|＝|BC′|＝2.答案：28．(2014·西安模拟)任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则EF＝__________(用向量AB，DC表示)．2解析：如图所示，因为E，F分别是AD与BC的中点，所以EA＋ED＝0，BF＋CF＝0.又因为AB＋BF＋FE＋EA＝0，所以EF＝AB＋BF＋EA.①同理EF＝ED＋DC＋CF.②由①＋②得，2EF＝AB＋DC＋(EA＋ED)＋(BF＋CF)＝AB＋DC，所以EF＝(AB＋DC)．答案：(AB＋DC)9．(2014·南京盐城二模)已知|OA|＝1，|OB|＝2，∠AOB＝，OC＝OA＋OB，则OA与OC的夹角大小为__________．解析：令OA＝OA1，OB＝OB1，因为|OA|＝1，|OB|＝2，所以|OA1|＝|OB1|，由OC＝OA＋OB＝OA1＋OB1，可知四边形OA1CB1为菱形．因为菱形对角线平分所对角，又∠AOB＝，∴∠AOC＝.答案：三、解答题10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解析：设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB.即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a与b为不共线的非零向量，∴有⇒∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．11．如图，在平行四边形OADB中，设OA＝a，OB＝b，BM＝BC，CN＝CD.试用a，b表示OM，ON及MN.3解析：由题意知，在平行四边形OADB中，BM＝BC＝BA＝(OA－OB)＝(a－b)＝a－b，则OM＝OB＋BM＝b＋a－b＝a＋b.ON＝OD＝(OA＋OB)＝(a＋b)＝a＋b，MN＝ON－OM＝(a＋b)－a－b＝a－b.12．如图，已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将OB分成21的一个内分点，DC和OA交于E，OA＝a，OB＝b.(1)用a与b表示向量OC、DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．解析：(1)依题意，A是BC中点，∵2OA＝OB＋OC，即OC＝2OA－OB＝2a－b.DC＝OC－OD＝OC－OB＝2a－b－b＝2a－b.(2)设OE＝λOA，则CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b，∵CE与DC共线，∴存在实数k，使CE＝kDC，(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.4
