第二节等差数列[考情展望]1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题．一、等差数列1．定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.3．前n项和公式：Sn＝na1＋＝.4．a、b的等差中项A＝.证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝.二、等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)②S2n－1＝(2n－1)an.③n为偶数时，S偶－S奇＝d；n为奇数时，S奇－S偶＝a中．1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18【解析】由题意，公差d＝a3－a2＝2，∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.【答案】D2．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25【解析】 a2＝1，a4＝5，∴S5＝＝＝＝15.【答案】B3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．24【解析】由S10＝S11得10a1＋×(－2)＝11a1＋×(－2)，解得a1＝20.【答案】B4．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.【解析】设等差数列公差为d，则由a3＝a－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，∴d2＝4，∴d＝±2.由于该数列为递增数列，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.【答案】2n－15．(2013·重庆高考)若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.【解析】由题意得该等差数列的公式d＝＝，所以c－a＝2d＝.【答案】6．(2013·广东高考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.【解析】法一a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.法二a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.【答案】20考向一[086]等差数列的判定与证明在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．【思路点拨】(1)分别令n＝2,3求a2，a3的值．(2)用定义法，证明bn＋1－bn为常数便可．【尝试解答】(1) a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2)．∴a2＝2a1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.a3＝2a2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n∈N*， bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1，∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．规律方法1用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义.对点训练(1)已知数列{an}中，a1＝1，＝＋，则a10＝________.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.①求证：是等差数列；②求数列{an}的通项公式．【解析】(1)由已知－＝，数列是公差为的等差数列，又 a1＝1，∴＝＋(n－1)＝.∴＝＝4，∴a10＝.【答案】(2)①证明 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．又＝＝2，故数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．②由①知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，又 a1＝，不适合上式，∴an＝考向二[087]等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6(2)(2013·四川高考)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a...
