第3节平面向量的数量积及其应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：cosθ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).[常用结论与易错提醒]1.设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ.2.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.4.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.()(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()解析(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π.(5)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2.(2019·北京昌平区二模)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝(2，－2)，AD＝(2，1)，则AC·DB＝()A.－3B.2C.3D.4解析在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝(2，－2)，AD＝(2，1)，AC＝AB＋AD＝(4，－1)，DB＝AB－AD＝(0，－3)，则AC·DB＝4×0＋(－1)×(－3)＝3.答案C3.(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.解析由数量积的定义知b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案－24.(2019·北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.解析 a⊥b，∴a·b＝0.又 a＝(－4，3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.答案85.(2019·北京朝阳区二模)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝()A.3B.C.7D.解析|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos＝1＋4＋2×1×2×＝3，所以|a＋b|＝.答案B6.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，|b|＝1，且a＋b与a－2b垂直则向量a·b＝________；a与b的夹角θ的余弦值为________.解析 (a＋b)⊥(a－2b)，∴(a＋b)·(a－2b)＝0，即|a|2－a·b－2|b|2＝0，∴5－a·b－2＝0，∴a·b＝3，∴cosθ＝＝.答案3考点一平面向量的数量积运算【例1】(1)(一题多解)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A.－B.C.D.(2)(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.解析(1)法一如图所示，根据已知得，DF＝AC，所以AF＝AD＋DF＝AB＋AC，BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB...
