第七章立体几何7.7立体几何中的向量方法练习理[A组·基础达标练]1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，有可能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)答案D解析若l∥α，则a·n＝0，而选项A中a·n＝－2，选项B中a·n＝1＋5＝6，选项C中a·n＝－1，选项D中a·n＝－3＋3＝0，故选D.2．[2016·海口模拟]在空间中，已知AB＝(2,4,0)，DC＝(－1,3,0)，则异面直线AB与DC所成角θ的大小为()A．45°B．90°C．120°D．135°答案A解析AB＝(2,4,0)，DC＝(－1,3,0)，cos〈AB，DC〉＝＝＝.∴〈AB，DC〉＝45°.即AB与DC所成的角为45°.3．[2015·西安模拟]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定答案B解析分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． A1M＝AN＝a，1∴M，N，∴MN＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴C1D1＝(0，a,0)，∴MN·C1D1＝0，∴MN⊥C1D1. C1D1是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.4．[2016·辽宁五校联考]长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为()A．1B.C.D.答案A解析将长方体中含有ABD1的平面取出，过点A作AM⊥BD1，延长AM到AP，使MP＝AM，则P是A关于BD1的对称点，如图所示，过P作PE⊥BC1，垂足为E，连接PB，PC1，依题意AB＝1，AD1＝，BD1＝2，∠ABD1＝60°，∠BAM＝30°，∠PBE＝30°，PE＝，BE＝，所以PC1＝1，故选A.5．[2015·潍坊模拟]正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案C解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则C1(，1,0)，A(0,0,2)，AC1＝(，1，－2)，2平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为＝＝.6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案C解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，NO＝(－1，0，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．7．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于________．答案3解析过C点作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB中点F，连接CF、OF，则∠CFO为二面角CABD的平面角，设AB＝1，则CF＝，OF＝CF·cos∠CFO＝，OC＝，则O为正方形ABDE的中心，如图所示建立直角坐标系Oxyz，则E，M，A，N，EM＝，AN＝，cos〈EM，AN〉＝＝.8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离是______．答案4解析解法一：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点E(1，a,1)(0≤a≤1)，连接D1E，则D1E＝(1，a,0)．连接A1D，易知A1D⊥平面ABC1D1，则DA1＝(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量．∴点E到平面ABC1D1的距离是d＝＝.解法二：点E到平面ABC1D1的距离，即B1到BC1的距离，易得点B1到BC1的距离为.9．[2014·辽宁高考]如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E、F分别为AC、DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．5解(1)证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC.又EO⊥BC，因此BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC.证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图2所示空间直角坐标系．易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)．因而E，F，所以EF＝，BC＝(0,2,0)，因此EF·BC＝0，从而EF⊥BC，所以EF⊥BC.(2)解法一：在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG....
