专题43排列与组合1．理解排列、组合的概念2．理解排列数公式、组合数公式3．能利用公式解决一些简单的实际问题热点题型一排列问题例1、有5个同学排队照相，求：(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？解析：(1)这是典型的相邻问题，采用捆绑法。先排甲、乙，有A种方法，再与其他3名同学排列，共有A·A＝48(种)不同排法。(2)这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的2名同学，有A种排法，出现3个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A·A＝12(种)排法。(3)这是顺序一定问题，由于乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列。(4)方法一：(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一，甲有A种，乙有A种，其余3人有A种，所以共有A·A·A种；若甲排在了第2和第4两个位置中的一个，有A种，这时乙有A种，其余3人有A种，所以一共有A·A·A种，因此符合要求的一共有A·A·A＋A·A·A＝60(种)排法。方法二：(间接法)5个人全排列有A种，其中甲站在中间时有A种，乙站在两端时有2A种，且甲站中间同时乙在两端时有2A种，所以一共有A－A－2A＋2A＝60(种)排法。【提分秘籍】求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法【举一反三】8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有()A．360种B．4320种C．720种D．2160种热点题型二组合问题例2、从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选。解析：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有C＝120(种)。(2)从除去A，B两人后的10人中选5人即可。∴有C＝252(种)。(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672(种)。(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，∴有C－C·C－C＝596(种)选法。【提分秘籍】两类组合问题的解决方法(1)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法或间接法都可以求解。通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。(2)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。【举一反三】从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数有()A．35B．70C．80D．140解析：分3步来计算：①从9人中，任取3人进行视力检测，分析可得，这是组合问题，共C＝84种情况；②选出的3人都为男生时，有C＝10种情况，选出的3人都为女生时，有C＝4种情况；③根据排除法，可得符合题意的选法共84－10－4＝70种。答案：B热点题型三排列与组合的综合问题例3．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止。(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法。所...
