第六节椭圆(二)1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(C)A.B．(1，＋∞)C．(1，2)D.解析：依题意，2k－1＞2－k＞0，解得1＜k＜2.故选C.2．(2013·湖南郴州模拟)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(C)A．(0，3)B.C．(0，3)∪D．(0，2)解析：当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为．解析： ∠AOB＝90°，∴∠AOF＝45°.∴＝.∴e2＝＝＝1－＝，即e＝.4．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，那么过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是2．解析：因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以>2，所以m2＋n2<4.所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内部．所以交点个数为2个．高考方向1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题的热点.2.常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的能力.3.三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题、解答题为高档题.1．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(C)A.B.C.D.1解析：设直线x＝与x轴交于点D， △F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F2F1|＝|F2P|，∴∠PF1F2＝30°.∴∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°.∴|F2D|＝|PF2|＝|F1F2|，即－c＝×2c＝c，∴＝2c，即＝.∴椭圆的离心率为e＝.故选C.2．(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解析：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C(，)在椭圆上，所以＋＝1.解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得或所以点A的坐标为(，)．又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为(，)．因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·(－)＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.1．以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则该椭圆的离心率为(C)A.B.C.D.解析：易知点M在OF2的垂直平分线上，过M作x轴的垂线，交x轴于点N，则点N坐标为，并设|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|＝2t，根据勾股定理可知，|MF1|2－|NF1|2＝|MF2|2－|NF2|2，得到c＝t，由|MF1|＋|MF2|＝2a得a＝，则e＝＝.故选C.2．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如图，在平面直角坐标系，xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，0)，B(0，1)，C(2，1)．(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C与△ABC无公共点，求m的取值范围；(3)若椭圆C与△ABC相交于不同的两个点，分别为M，N，求△OMN面积S的最大值．解析：(1)由已知可得a2＝4m2，b2＝m2，∴e＝＝＝＝＝，即椭圆C的离心率为.(2)由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点．2①当椭圆C在直线AB的左下方时，将AB：x＋2y－2＝0，即x＝2－2y代入方程＋＝1，整理得8y2－8y＋4－4m2＝0，由Δ<0，即64－32(4－4m2)<0，m＞0，解得00，∴m>.综上所述，当0时，椭圆C与△ABC无公共点．(3)由(2)知当
