4-4第1讲坐标系1．(2018·山西省高三考前质量检测)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．解：(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝．(2)因为M(，0)，N(0，1)，所以P，所以OP的极坐标方程为θ＝，把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P．把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q．所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两间点的距离为1．2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为，点Q为线段PM的中点．(1)求点Q的轨迹C1的方程；(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由．解：(1)由⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，所以⊙C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，又点M的极坐标为，所以点M的直角坐标为(0，4)．设点P(x0，y0)，点Q(x，y)，则有x＋(y0－1)2＝1．(*)因为点Q为线段PM的中点，所以代入(*)得轨迹C1的方程为x2＋＝．(2)因为⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，而轨迹C1是圆心为，半径为的圆，所以两圆的圆心距为，等于两圆半径和，所以两圆外切．3．在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，在Rt△OAM中，∠OMA＝90°，∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4．因为cos∠AOM＝，1所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，即ρ＝4cos＝4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos为所求．(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝90°，易得∠AOP＝，所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2．法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos．(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，得ρ＝2，所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2．4．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1．(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆．C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝＝>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则，即①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，所以ρ0cos＝1．②将①代入②，得cos＝1，即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为＋＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．5．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．解：(1)依题意得ρ＝2cos＝2，即ρ2＝2，可得x2＋y2－2x－2y＝0，故C2的直角坐标方程为＋(y－1)2＝2．(2)曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，即ρ＝－1，化为直角坐标方程为x＋y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1，1)为圆心，为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝>r＝，于是直线与圆相离，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为．6．在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．2(1)求C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，θ∈．(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有解得设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有解得由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ的长为4．1．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极...
