第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝.2.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).(2)tanαtanβ＝1－＝－1.3.式子f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).特别地，sinα±cosα＝sin.[常用结论与易错提醒]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1”的各种变通.如tan＝1，sin2α＋cos2α＝1等.3.在(0，π)范围内，sinα＝所对应的角α不是唯一的.4.在三角求值时，常需要确定角的范围.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同.()(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()解析(4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.答案(1)√(2)√(3)√(4)×2.(2019·全国Ⅰ卷)tan255°＝()A.－2－B.－2＋C.2－D.2＋解析tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.答案D3.若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝()A.B.C.D.解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，故选A.答案A4.(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知tan＝，则tanα＝________.解析法一因为tan＝，所以＝，即＝，解得tanα＝.法二因为tan＝，所以tanα＝tan＝＝＝.答案5.(2020·南京、盐城一模)已知锐角α，β满足(tanα－1)·(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________.解析因为(tanα－1)(tanβ－1)＝2，所以tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，因此tan(α＋β)＝＝－1，因为α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.答案6.(2019·宁波调研)已知sinβ＝，β∈，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝________.解析因为sinβ＝，β∈，所以cosβ＝－，由sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.答案－2考点一两角和、差公式的正用【例1】(1)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________.(2)若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值.(1)解析 tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π)，∴0<α<，0＜2α＜π，又 tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1. tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.答案－(2)解由条件得所以相除得＝5.规律方法(1)熟练掌握两角和、差的公式；(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角表示.【训练1】(1)sin75°＝________.(2)(2020·杭州二中模拟)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ的值为()A.B.C.D.解析(1)sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝.(2)因为0＜α，β＜，所以0＜α＋β＜π.因为cosα＝，所以sinα＝，因为sin(α＋β)＝，0＜α＜α＋β＜π，sinα＞sin(α＋β)，所以＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝－.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选A.答案(1)(2)A考点二两角和、差公式的逆用【例2】计算·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°.解原式＝＋－2cos40°＝－2cos40°＝－2cos40°＝－2cos40°＝＝＝2.规律方法(1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征；(2)对asinα±bcosα的式子注意化为一个角的一种函数(辅助角公式)；(3)注意切化弦技巧.【训练2】(1)－＝________.(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cos...
