FEDCBAP南通市立体几何训练--例题精选1如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，若、分别为、的中点.(Ⅰ)//平面；(Ⅱ)求证:平面平面；(本小题满分14分)解：(Ⅰ)证明：连结，在中，的中位线,//，且平面,平面，………7分(Ⅱ)证明： 面面，平面面，∴平面，又,∴面面(其它解法参照给分)………14分２如图四边形是菱形，PA平面，Q为PA的中点.求证：⑴PC∥平面QBD；⑵平面QBD平面PAC.[解]：证：设ACBD=0,连OQ。⑴ ABCD为菱形，∴O为AC中点，又Q为PA中点。∴OQ∥PC（5分）又PC平面QBD,OQ平面QBD∴PC∥平面QBD（7分）⑵ ABCD为菱形，∴BDAC,（9分）又 PA平面ABCD，BD平面ABCD∴PABD（12分）又PAACD∴BDP平面AC又BD平面QBD∴P平面QBD平面AC（14分）3、已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.(1)求证:PF⊥FD；(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.用心爱心专心BACDPQOPABCDFE·ACDPB解：（1）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.…………………3分又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.……………4分所以FD⊥平面PAF.…………………………5分故PF⊥FD.………………………………………6分(2)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且AH=AD.…………………………8分再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且AG=PA.………………………10分所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD,…………………………………………12分从而点G满足AG=PA.………………………………………………………………13分[说明:①用向量法求解的,参照上述评分标准给分；②第(2)小题也可以延长DF与AB交于R,然后找EG//PR进行处理.]4、如图已知平面,，且,,ABPC,,PDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为,PCAB，所以PCAB．同理PDAB．又PCPDP，故AB平面PCD．5分（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角．又1,2PCPDCD，所以2222CDPCPD，即90CPD．在平面四边形PCHD中，90PCHPDHCPD，所以90CHD．故平面平面．14分5、已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（1）证明：平面PAD⊥PCD；（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:MACBPDCMAVV；（3）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.解：（I）证明：依题意知：ABCDPADADCD面面又.用心爱心专心PABCDFE·HG.PADDC平面.PCDPADPCDDC平面平面面又（II）由（I）知PA平面ABCD∴平面PAB⊥平面ABCD.在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，设MN=h则312213131hhhSVABCABCM21112)21(3131PASVABCABCDP要使21,1:23:)321(,1:2:hhhVVMACBPDCMA解得即即M为PB的中点.（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，21）由（I）知平面PDAQPCDPAD作平面,，则PCDAQPDCAQ为平面则平面,的法向量。又PAD为等腰Rt)21,0,21(,QPDQ即的中点为因为AMAQAMAQ不垂直所以,041)21,1,0)(21,0,21(所以AM与平面PCD不平行.6、如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，．（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；（Ⅱ）当点位于线段PC什么位置时，平面？（Ⅲ）求四棱锥的体积．用心爱心专心ABCMPD证明：（Ⅰ）在中， ，，，∴．∴．2分又 平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．4分（Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面．5分证明如下：连接AC，交于点N，连接MN． ，所以四边形是梯形． ，∴．又 ，∴，∴MN．7分 平面，∴平面．9分（Ⅲ）过...
