第45讲立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离[解密考纲]空间角涉及异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，距离主要是点到直线的距离或点到平面的距离，这些知识有时在选择题或填空题中考查，有时在解答题立体几何部分的第(2)问或第(3)问考查，难度适中．一、选择题1．已知三棱锥S－ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为，1，，则PS的长度为(D)A．9B．C．D．3解析由条件可分别以SA，SB，SC为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系Sxyz，则点S的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(，1，)，由两点之间的距离公式可得PS＝＝3.2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(－1,0,1)，所以BA1＝(0,1,1)，AC1＝(－1,0,1)，所以cos〈BA1，AC1〉＝＝＝，所以〈BA1，AC1〉＝60°，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)A．B．C．D．解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以A1D＝(0,1，－1)，A1E＝.设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1,2,2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，即所成的锐二面角的余弦值为.4．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(B)A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析 u＝－2a，∴u∥a，则l⊥α.5．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P1为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(B)A．B．C．D．解析如图所示，由棱柱的体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O，则可求得AO长为1，故AP的长为＝2.故∠PAO＝，即PA与平面ABC所成的角为.6．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(D)A．B．C．D．解析如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，连接SD；作AG⊥SD于点G，连接GB． SA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，∴BC⊥SA，BC⊥AD．∴BC⊥平面SAD．又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC．又AG⊥SD，∴AG⊥平面SBC．∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角． AB＝2，SA＝3，∴AD＝，SD＝2.在Rt△SAD中，AG＝＝，∴sin∠ABG＝＝＝.二、填空题7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，若BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为____.解析如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，E为AC的中点，连接BE，则BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝1××＝＝××cosθ(θ为AD与EB的夹角)，所以cosθ＝＝sinα，所以所求角的正切值为tanα＝＝.8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与2直线AB1夹角的余弦值为____.解析不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，所以BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)，所以cos〈BC1，AB1〉＝＝＝＝>0.所以BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为____.解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A1(0,0,1)，E，F，D1(0,1,1)．∴A1E＝，A1D1＝(0,1,0)．设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1.∴n＝(1,0,2)．又A1F＝，∴点F到平面A1D1E的距离为d＝＝＝.三、解答题10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；(3)求平面AB1D与平面ABC所成锐二面角的大小．解析(1)证明：取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE，EF，CF. E，F...
