第三讲平面向量一、选择题1．(2018·郑州一模)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a＋3b|等于()A.B.C.D．4解析：依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.答案：C2．(2018·石家庄模拟)在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA＝b，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(AC＋CB)＝CA＋CB＝b＋a，故选B.答案：B3．设向量a＝(1，m)，b＝(m－1,2)，且a≠b，若(a－b)⊥a，则实数m＝()A.B.C．1D．2解析：因为a＝(1，m)，b＝(m－1,2)，且a≠b，所以a－b＝(1，m)－(m－1,2)＝(2－m，m－2)，又(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，可得(2－m)×1＋m(m－2)＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝2时，a＝b，不符合题意，舍去，故选C.答案：C4．(2018·南宁模拟)已知O是△ABC内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2且∠BAC＝60˚，则△OBC的面积为()A.B.C.D.解析： OA＋OB＋OC＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC. AB·AC＝2，∴|AB|·|AC|·cos∠BAC＝2， ∠BAC＝60˚，∴|AB|·|AC|＝4.又S△ABC＝|AB|·|AC|sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为，故选A.答案：A5．(2018·沈阳模拟)已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为()A．－2B．2C．4D．6解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－)·(1，)＝－3＋x－3＝0，即x＝6，解得x＝2，故选B.答案：B6．(2018·洛阳模拟)已知向量a＝(m,2)，b＝(3，－6)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数m的值是()A．－4B．－1C．1D．4解析：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方整理得a·b＝0，即3m－12＝0，故m＝4，故选D.答案：D7．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C．D．解析：因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ≤，所以|c|的最大值是.答案：C8．(2018·抚州二模)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝，则对任意的正实数t，的最小值是()A．2B．2C．4D．4解析：2＝c2＋t2a2＋b2＋2ta·c＋c·b＋2a·b＝2＋t2＋＋2t＋≥2＋2＋2＝8(t＞0)，当且仅当t2＝，2t＝，即t＝1时等号成立，∴|c＋ta＋b|的最小值为2.答案：B9．(2018·广西五校联考)设D是△ABC所在平面内一点，AB＝2DC，则()A.BD＝AC－ABB.BD＝AC－ABC.BD＝AC－ABD.BD＝AC－AB解析：BD＝BC＋CD＝BC－DC＝AC－AB－AB＝AC－AB.答案：A10．在▱ABCD中，|AB|＝8，|AD|＝6，N为DC的中点，BM＝2MC，则AM·NM＝()A．48B．36C．24D．12解析：AM·NM＝(AB＋BM)·(NC＋CM)＝(AB＋AD)·(AB－AD)＝AB2－AD2＝×82－×62＝24.答案：C11．(2018·渭南瑞泉中学五模)如图，点P在矩形ABCD内，且满足∠DAP＝30˚，若|AD|＝1，|AB|＝，AP＝mAD＋nAB(m，n∈R)，则等于()A.B.3C.D.解析：如图，考虑特殊情况，假设点P在矩形的对角线BD上，由题意易知|DB|＝2，∠ADB＝60˚，又∠DAP＝30˚，所以∠DPA＝90.˚由|AD|＝1，可得|DP|＝＝|DB|，从而可得AP＝AD＋AB.又AP＝mAD＋nAB，所以m＝，n＝，则＝3.故选B.答案：B12．(2018·东北四市模拟)已知向量OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，OC＝mOA－nOB(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，则|OC|的最小值为()A.B.C.D.解析：由OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，得OC＝mOA－nOB＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，所以n＝1－m且0＜m＜1，所以OC＝(1＋2m,4m－3)，则|OC|＝＝＝(0＜m＜1)，所以当m＝时，|OC|min＝.答案：C二、填空题13．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.答案：714．(2018·惠州模拟)在四边形ABCD中，AB＝DC，P为CD上一点，已知|AB|＝8，|AD|＝5，AB与AD的夹角为θ，且cosθ＝，CP＝3PD，则AP·BP＝________.解析： AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又CP＝3PD，∴AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，又|AB|＝8，|AD|＝5，cosθ＝，∴AD·AB＝8×5×＝22，∴AP·BP＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝|AD|2－A...
