第26课导数的综合问题（1）1.利用研究不等式问题：证明方法（1）构造函数（2）利用函数的单调性证明【例1】设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：对于定义域内的任意一个，都有．【解析】（1）∵，∴．令，解得；令，解得．∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为．【变式】已知函数，，两函数图象的交点在轴上，且在该点处切线相同．（1）求，的值；（2）求证：当时，成立；【解析】（1）∵与的图象在轴上有公共点，∴，即．又∵，，由题意，即，∴，．（2）设，则．∴在时单调递减．∵，∴当时，，∴当时，．2。利用导数来研究恒成立问题【例2】已知函数.(1)求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【解析】(1).①当时，.∴的单调递增区间为.②当时，由，得.时，，时，，∴函数的单调增区间为，单调递减区间为.（2）由已知，转化为.∵，∴，由(1)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，∴，∴，解得.【变式】（2013房山二模）已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求证：对任意，都有．【解析】（1），由已知得，解得．∵当，，时，，时，，∴在处取得极小值．∴．（2）由（1）知，．令得，∵，∴，∴对任意，都有．第26课导数的综合问题的课后作业（1）1.设为曲线：在点处的切线.（1）求的方程；（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方2.设f(x)＝lnx＋ax(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，证明：x∈[1，2]时，f(x)－3<成立．【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a，当a>0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．当a<0时，f′(x)＝，由f′(x)>0得0－.∴函数f(x)在(0，－)上是增函数；在(－，＋∞)上是减函数．(2)证明：当a＝1时，f(x)＝lnx＋x，要证x∈[1，2]时，f(x)－3<成立，只需证xlnx＋x2－3x－1<0在x∈[1，2]时恒成立．令g(x)＝xlnx＋x2－3x－1，则g′(x)＝lnx＋2x－2，设h(x)＝lnx＋2x－2，则h′(x)＝＋2>0，∴h(x)在[1，2]上单调递增，∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，即0≤g′(x)≤ln2＋2，∴g(x)在[1，2]上单调递增，∴g(x)≤g(2)＝2ln2－3<0，∴当x∈[1，2]时，xlnx＋x2－3x－1<0恒成立，即原命题得证．3.已知函数f(x)＝lnx＋－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m∈R，对任意的a∈(－1，1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)<0成立，求实数m的取值范围．【解】(1)f′(x)＝－＝，x>0.令f′(x)>0，得x>1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．令f′(x)<0，得00，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f(x)0，∴a>xlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝.∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)
