解一元二次方程VIP专享VIP免费

21.2解一元二次方程第1课时配方法、公式法1．直接开平方降次法根据平方根的定义，把一个一元二次方程______，转化为________一元一次方程，这种方法可解形如(x－a)2＝b(b≥0)的方程，其解为____________．降次两个注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)；a(x＋b)2＝c(a，c同号，且a≠0)．x＝a±b2．配方法通过配成________________来解一元二次方程的方法叫做配方法．配方是为了________，把一个一元二次方程转化为__________________来解．注意：配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．完全平方形式降次两个一元一次方程3．公式法探究：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且Δ＝b2－4ac≥0，试证明它的两个根为证明：移项，得ax2＋bx＝－c()←常数项移到右边↓x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.配方，得x2＋bax＋b2a2＝－ca＋b2a2，即直接开平方，得()←把上式左边写成完全平方式↓()0←判断等式右边的符号↓，↓≥↓原命题得证．x＋b2a2＝b2－4ac4a2b2－4ac4a2x＋b2a＝±b2－4ac2ax＝－b±b2－4ac2a.归纳：由上可知，(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的a，b，c而定；(2)式子x＝叫做一元二次方程的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．注意：采用公式法时首先要将方程化简为一般式．－b±b2－4ac2a4．一元二次方程根的判别式由根的判别式________________的值可以直接去判断方程根的个数情况，而不用求解方程：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程__________________________；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程__________________________；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程__________________________．有两个相等的实数根没有实数根Δ＝b2－4ac有两个不相等的实数根知识点1直接开平方降次法【例1】用直接开平方降次法解下列方程：(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)4x2＋16x＋16＝9.思路点拨：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．解：(1)3x2－1＝5可化成x2＝2，则原方程的解为x1＝－2，x2＝2.(2)4(x－1)2－9＝0可化成(x－1)2＝94.两边开平方，得x－1＝±32.则原方程的解为x1＝－12，x2＝52.(3)4x2＋16x＋16＝9可化成(2x＋4)2＝9.两边开平方，得2x＋4＝±3.则原方程的解为x1＝－72，x2＝－12.【跟踪训练】)C1．一元二次方程x2－3＝0的根为(A．x＝3B．x＝3D．x1＝3，x2＝－3C．x1＝3，x2＝－32．用直接开平方降次法解下列方程：(1)x2－16＝0；(2)(x－2)2＝5.解：(1)x2－16＝0，即x2＝16.∴x1＝4，x2＝－4.(2)(x－2)2＝5，即x－2＝±5.∴x1＝2＋5，x2＝2－5.知识点2配方法(重难点)【例2】用配方法解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0；(2)2x2＋6x－2＝0；(3)(1＋x)2＋2(x＋1)－4＝0.思路点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)将方程变为(x＋m)2＝n的形式；(5)用直接开平方降次法解变形后的方程(如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解)．解：(1)移项，得x2＋6x＝－5.配方，得x2＋6x＋32＝－5＋32，即(x＋3)2＝4.两边开平方，得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝2.二次项系数化为1，得x2＋3x＝1.配方，得x2＋3x＋322＝1＋322，即x＋322＝134.两边开平方，得x＋32＝±132，即x1＝－32－132，x2＝－32＋132.(3)去括号整理，得x2＋4x－1＝0.移项，得x2＋4x＝1，配方，得(x＋2)2＝5.两边开平方，得x＋2＝±5，即x1＝－2－5，x2＝－2＋5.【跟踪训练】3．(2011年甘肃兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原)C方程应变形为(A．(x＋1)2＝6C．(x－1)2＝6B．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝94．用配方法解方程：(1)x2－4x－3＝0；(2)4x2－7x－2＝0.解：(1)移项，得...