第2讲导数的简单应用(A)(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号导数的几何意义1,2,3,6导数与函数的单调性4,9,10,11,12导数与函数的极值、最值5,7,8一、选择题1.(2018·贵州遵义航天高级中学一模)曲线C:y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为(C)(A)y=x-e(B)y=x+e(C)y=2x-e(D)y=2x+e解析:因为y′=lnx+1,所以k=lne+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),y=2x-e,选C.2.(2018·四川绵阳三诊)若曲线y=lnx+1的一条切线是y=ax+b,则4a+eb的最小值是(C)(A)2(B)2(C)4(D)4解析:设切点为(m,lnm+1),m>0,f′(x)=,f′(m)=,故切线方程为y-(lnm+1)=(x-m),即y=x+lnm,所以a=,b=lnm,4a+eb=+m≥2=4.故选C.3.(2018·四川雅安三诊)若曲线y=x2与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a等于(A)(A)1(B)(C)-1(D)2解析:曲线y=x2的导数为y′=,在P(s,t)处的斜率为k=.曲线y=alnx的导数为y′=,在P(s,t)处的斜率为k′=.曲线y=x2与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,可得=,并且t=s2,t=alns,即所以lns=,所以s2=e.可得a===1.故选A.4.(2018·山西省六校第四次联考)已知函数f(x)=2e2x-2ax+a-2e-1,其中a∈R,e为自然对数的底数.若函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点,则a的取值范围是(B)(A)(2,2e-1)(B)(2e-1,2e2-2e-1)(C)(2e2-2e-1,2e2)(D)(2,2e2)解析:f′(x)=4e2x-2a.令f′(x)=0得,4e2x-2a=0,即e2x=,当a≤0时,方程无解,所以a>0,a>0时,x=ln,当x
ln时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(ln)=2a-2e-1-aln,由f(x)在(0,1)内有两个零点,所以解得2e-1kx恒成立(D)对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4解析:A.f′(x)=-+=,易知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以x=2是f(x)的极小值点,A对;B.y=f(x)-x=+lnx-x,所以y′=,而x>0,所以y′<0,即函数是减函数,当x=1时,y=1>0,当x=e时,y=+1-e<0,所以函数与x轴有一个交点,B正确;C.由f(x)>kx,得k<=+,令g(x)=+,则g′(x)=,再令h(x)=-4+x-xlnx,则h′(x)=-lnx,x∈(0,1)时,h′(x)>0,x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,而h(1)<0,所以g′(x)<0,即g(x)是单调递减函数,无最小值,不存在正数k,使不等式恒成立,C不对;D.f(x)在(0,2)内递减,(2,+∞)内递增,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4,正确.故选C.二、填空题8.(2018·超级全能生联考)已知函数f(x)=x3-x2+2x+t在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,则t的取值范围是.解析:f′(x)=tx2-3x+2,由题意可得f′(x)=0在(0,+∞)有两个不等根,即tx2-3x+2=0在(0,+∞)上有两个不等根,所以解得00,g′(x)=,所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,g(0)=0,x→+∞时,g(x)→0,g(1)=,所以a∈(0,).答案:(0,)10.(2018·湖北黄冈、黄石等八市3月联考)已知实数a>0,a≠1,函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:因为f(x)=在R上单调递增,所以即由2x-+≥0,得a≥-2x2,因为x≥1时,-2x2≤2,所以a...
