(二)立体几何与空间向量1．(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A—PB—C的余弦值．(1)证明由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD，因为AB∥CD，所以AB⊥PD.又AP∩DP＝P，AP，DP⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.以点F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C，所以PC＝，CB＝(，0,0)，PA＝，AB＝(0,1,0)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取n＝(0，－1，－)．设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－.易知A—PB—C为钝二面角，所以二面角A－PB－C的余弦值为－.2.(2017·泉州质检)如图，在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，∠CBD＝60°，BD＝2BC＝4，点E在CD上，DE＝2EC.(1)求证：AC⊥BE；(2)若二面角E—BA—D的余弦值为，求三棱锥A—BCD的体积．(1)证明取BD的中点O，连接AO，CO，EO.因为AB＝AD，BO＝OD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD.又BE⊂平面BCD，所以AO⊥BE.在△BCD中，BD＝2BC，DE＝2EC，所以＝＝2，由角平分线定理，得∠CBE＝∠DBE.又BC＝BO＝2，所以BE⊥CO，又因为AO∩CO＝O，AO⊂平面ACO，CO⊂平面ACO，所以BE⊥平面ACO，又AC⊂平面ACO，所以AC⊥BE.(2)解在△BCD中，BD＝2BC＝4，∠CBD＝60°，由余弦定理，得CD＝2，所以BC2＋CD2＝BD2，即∠BCD＝90°，所以∠EBD＝∠EDB＝30°，BE＝DE，所以EO⊥BD，结合(1)知，OE，OD，OA两两垂直，以O为原点，分别以OE，OD，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，设AO＝t(t>0)，则A(0,0，t)，B(0，－2,0)，E，所以BA＝(0,2，t)，BE＝，设n＝(x，y，z)是平面ABE的一个法向量，则即整理，得令y＝－1，得n＝.因为OE⊥平面ABD，所以m＝(1,0,0)是平面ABD的一个法向量．又因为二面角E—BA—D的余弦值为，所以|cos〈m，n〉|＝＝，解得t＝2或t＝－2(舍去)．又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱锥A—BCD的高，故VA—BCD＝·AO·S△BCD＝×2××2×2＝.3.如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．解以{AB，AD，AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．(1)因为AD⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD＝(0,2,0)．因为PC＝(1,1，－2)，PD＝(0,2，－2)．设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PC＝0，m·PD＝0，即令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量．从而cos〈AD，m〉＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.(2)因为BP＝(－1,0,2)，设BQ＝λBP＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB＝(0，－1,0)，则CQ＝CB＋BQ＝(－λ，－1,2λ)，又DP＝(0，－2,2)，从而cos〈CQ，DP〉＝＝.设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，则cos2〈CQ，DP〉＝＝≤.当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈CQ，DP〉|的最大值为.因为y＝cosx在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.4.(2017届锦州质检)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)若二面角M—BQ—C的大小为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．(1)证明 AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴QD∥BC且QD＝BC，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ. ∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.又 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ⊂平面ABCD，∴BQ⊥平面PAD. BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥...
