第二章函数、导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理练习理[A组·基础达标练]1．与定积分∫dx相等的是()A.∫sindxB.∫dxC.D．以上结论都不对答案B解析 1－cosx＝2sin2，∴∫dx＝∫dx＝·∫dx.2．[2016·开封考试]若∫(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为()A．－B．－C．－1D．－2答案B解析由题意知，∫(x2＋mx)dx＝＝＋＝0，得m＝－.3．[2015·山西四校联考]定积分|x2－2x|dx＝()A．5B．6C．7D．8答案D解析|x2－2x|＝|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.4．[2015·洛阳统考]利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“0x2dx>”发生的概率为()A.B.C.D.答案C解析 x2dx＝x3＝a3>，∴a>，∴P＝＝.5．[2015·淄博一模]如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()A.|x2－1|dxB.C.(x2－1)dxD.(x2－1)dx＋(1－x2)dx1答案A解析由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图所示的面积相等，即|x2－1|dx.6．[2015·贵阳期末]若任取x，y∈[0,1]，则点P(x，y)满足y≤x的概率为()A.B.C.D.答案D解析如图， 满足题意的图形的面积S1＝xdx＝x＝，∴所求概率P＝＝.7.[2015·衡中三模]由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是()A.B.＋C.D.＋1答案B解析把阴影部分分成两部分求面积．S＝S1＋S2＝(2－x2)dx＋(2－x2－x)dx2＝＋＝2－＋2－－＝＋.8．[2014·湖北高考]若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析对于①，sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数．选C.9．[2015·合肥模拟]设函数f(x)＝(x－1)x(x＋1)，则满足f′(x)dx＝0的实数a＝________.答案1解析f′(x)dx＝f(a)＝0，得a＝0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a＝1.10．sindx＝________.答案2解析依题意得sindx＝(sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)＝－(sin0－cos0)＝2.11．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得即∴f(x)＝ax2＋2－a.又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx＝＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2) f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，[f(x)]min＝－4；当x＝±1时，[f(x)]max＝2.12.在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面3积S1与S2之和最小，并求最小值．解S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2,1－t面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.[B组·能力提升练]1．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.答案C解析根据题意，正方形OABC的面积为1×1＝1，而阴影部分由函数y＝x与y＝围成，其面积为(－x)dx＝＝，则在正方形OABC中任取一点P，点P恰好取自阴影部分的概率为＝.故应选C.2．由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A．1B.C.D．2－2答案D解析解法一：由sinx＝cosx，得x＝.故所求阴影部分的面积S＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝sin＋cos－sin0－cos0＋＝2－2.故选D.解法二：由sinx＝cosx，得x＝.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积4S＝2(cosx－sinx)dx＝2(sinx＋cosx)＝2＝2－2.故选D.3．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值...
