高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 空间向量及其运算 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第6讲空间向量及其运算一、选择题1．以下四个命题中正确的是()．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案B2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝()．A．－4B．－2C．4D．2解析 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案D3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()．A．0B.C.D.解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案A5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是()．A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c解析BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.答案A6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()1A.B.C．1D.解析＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.答案D二、填空题7.设,xyR，向量4,2,,1,1,cybxa，且cbca//,，则_______ba解析2402,//(3,1)10242xxacbcabyy.答案108.在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝________.解析如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.答案09．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．解析由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．答案①②10．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c.OA与BC所成的角为θ，OA·BC＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋AC)－a·(a＋AB)＝a2＋a·AC－a2－a·AB＝24－16.2∴cosθ＝＝＝.答案三、解答题11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC)．(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解(1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，∴MA，MB，MC共面．(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M，∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．12．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小．解如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a），F（a，a,0）.(1)|EF|2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a.(2)OE＝，OF＝，OE·OF＝0×...