高中数学探究性试题汇编（四）新人教A版VIP专享VIP免费

高中数学探究性试题汇编（四）课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。31．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)3,1(M、)1,5(N，若点C满足ONtOMtOC)1(（Rt），点C的轨迹与抛物线：xy42交于A、B两点.（Ⅰ）求证：OA⊥OB；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点)0,(mP，使得过点P直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：1）解：由ONtOMtOC)1(（Rt）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：)1(4)3(13xy即4xy…………….2分由016124)4(44222xxxxxyxy∴1621xx1221xx∴1616)(4)4)(4(212121xxxxxxyy∴02121yyxx故OA⊥OB.……………………………………6分2）解：存在点)0,4(P，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点由题意知：弦所在的直线的斜率不为零…………………………………7分故设弦所在的直线方程为：4kyx代入xy2得01642kyy∴kyy4211621yy1116161644212222112211yyyyyyxyxykkOBOA∴OBOA故以AB为直径的圆都过原点…………………………..10分设弦AB的中点为),(yxM则)(2121xxx)(2121yyy848)4(8)(442212121kkkyykkykyxx∴弦AB的中点M的轨迹方程为：kykx2422消去k得822xy.……………………14分32．设函数mxexfmx其中,)(R.（I）求函数)(xf的最值；（Ⅱ）给出定理：如果函数)(xfy在区间[ba,]上连续，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在0)(),,(00xfbax使得.运用上述定理判断，当1m时，函数)(xf在区间)2,(mm内是否存在零点.解：（I）,1)(,),()(mxexfxf上连续在令.,0)(mxxf得……………………2分;1)()(.)(,,.0)(,1,),(;0)(,1,),(minmmfxfxfmxxfemxxfemxmxmx取极小值也是最小值时当所以时当时当由①知f（x）无最大值.……………………6分（Ⅱ）函数f（x）在[m，2m]上连续.,02)(,1,2)(,2)(,2)2(emgmemgmemgmemfmmm则令而),1()(在mg上递增.……………………8分2①由,0)2(,0)1()(02)1(mfgmgeg即得……………………10分又,0)2()(,01)(mfmfmmf根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.……………………12分33．已知数列{an}有a1a，a2p(常数p>0)，对任意的正整数n，Sna1a2…an，并有Sn满足2)(1aanSnn。(1)求a的值；(2)试确定数列{an}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；(3)对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn