7.6空间向量的运算及应用[课时跟踪检测][基础达标]1．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.B．C.D．解析： a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)．∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴a与b的夹角为，故选D.答案：D2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B．a2C.a2D．a2解析：AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.答案：C3．(2018届东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B．C．－D．±解析： OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，∴cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.答案：C4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.PC与BDB．DA与PBC.PD与ABD．PA与CD解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，PA·CD＝0，排除D.又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以DA·PB＝0，同理PD·AB＝0，排除B，C，故选A.答案：A5．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B．C．1D．解析： BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.答案：D6．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对解析： a＋b＝－c，∴a2＋b2＋2a·b＝c2.又 |a|＝2，|b|＝3，|c|＝，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3.∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝60°.答案：C7．已知向量a＝，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为()A．8B．4C．2D．3解析：解法一：因x＝8,2,3时都不满足a∥b.而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，∴a∥b.解法二：a∥b⇔存在λ>0使a＝λb⇔＝(λx，λ，2λ)⇔⇔∴选B.答案：B8．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x，4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意知AB·AC＝0，|AB|＝|AC|，又AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4,3，－6)，∴解得x＝2.答案：29.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则|MN|＝________.解析：连接PD， M，N分别为CD，PC的中点，∴|MN|＝|PD|，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，∴|PD|＝＝，∴|MN|＝.答案：10．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN＝VD.则VA与平面PMN的位置关系是________．解析：如图，设VA＝a，VB＝b，VC＝c，则VD＝a＋c－b，由题意知PM＝b－c，PN＝VD－VC＝a－b＋c.因此VA＝PM＋PN，∴VA，PM，PN共面．又 VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.答案：平行11．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令AE＝tAB(t∈R)，所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为－，－，.12.如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明： 二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，∴AA1⊥平面ABC.又 AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．(1)A1B1＝(0,2,0)，A1A＝(0,0，－2)，AC＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，则n＝(0,1,0)．∴A1B1＝2n，即A1B1∥n.∴A1B1⊥平面AA1C.(2)易知AB1＝(0,2,2)，A1C1＝(1,1,0)，A1C＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则即令x1...
