2.2函数的单调性与最值考点一函数的单调性(区间)1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是()A.y=1-x2B.y=x2+2xC.y=-D.y=2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)3.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()A.y=在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是()A.(-∞,0]B.[0,1)C.[1,+∞)D.[-1,0]【解析】1.选D.对于选项A,该函数是开口向下的抛物线,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项B,该函数是开口向上的抛物线,在区间(-∞,-1]上是减函数,在区间[-1,+∞)上是增函数;对于选项C,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项D,因为y==1+.易知其在(-∞,1)上为减函数.12.选D.函数有意义,则x2-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞).3.选D.特例法:设f(x)=x,则y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错;则y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错;则y=-=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,C错.y=-f(x)=-x在R上为减函数,所以选项D正确.4.选B.因为g(x)=作出函数图象如图所示,所以其递减区间为[0,1).判断函数单调性的方法(1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论.(2)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减.(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则.(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.其中(2)(3)一般用于选择题和填空题.考点二函数的最值(值域)【典例】1.函数y=的值域是________.2.函数y=x+的最小值为________.23.已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域为,则a=________.【解题导思】序号联想解题1由,想到分离常数2由x+,想到利用函数的单调性或换元法求解3由-,想到反比例函数的单调性【解析】1.(分离常数法)因为y==-1+,又因为1+x2≥1,所以0<≤2,所以-1<-1+≤1,所以函数的值域为(-1,1].答案:(-1,1]2.方法一:因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数y=x+在其定义域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时y取最小值,即ymin=1.方法二:令t=,且t≥0,则x=t2+1,所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0.配方得y=+,又因为t≥0,所以y≥+=1.3故函数y=x+的最小值为1.答案:13.由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上单调递增,所以即解得a=.答案:求函数最值的常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.1.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是()A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.[0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,2)【解析】选A.当x<1时,0<2x<2,当x≥1时,f(x)=-log2x≤-log21=0,综上f(x)<2,即函数的值域为(-∞,2).2.函数y=的值域为________.4【解析】y===3+,因为≠0,所以3+≠3,所以函数y=的值域为{y|y≠3}.答案:{y|y≠3}3.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.【解析】因为y=在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.答案:3考点三函数单调性的应用命题精解读考什么:(1)考查比较大小问题、与抽象函数有关的不等式和已知单调性求参数解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.怎么考:与基本初等函数、单调性、最值交汇考查函数的单调性、图象等知识.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.学霸好方法1.比较大小问题的解题思路(1)利用函数的单调性判断两个值的大小.(2)寻找中间量比较两个数值的大小,经常利用1,0,-1等.2.与抽象函数有关的不等式问题的解题策略判断函数的单调性,并利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式,然后求解即可.3.已知函数单调性求参数值的解题策...
