大题专项训练(五)圆锥曲线1．[2018·陕西黄陵第三次质量检测]已知动点M(x，y)满足：＋＝2.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设过点N(－1,0)的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C(点C与点B不重合)，证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．2．[2018·全国卷Ⅱ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．3．[2018·江苏赣榆模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，且椭圆经过点A(2,0)和点(1,3e)，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM＝MA.若MF1⊥BF2，求直线l的斜率．4．[2018·内蒙古赤峰宁城5月统考]已知直线l与抛物线C：x2＝4y相切于点A，与其准线相交于点P.(1)证明：以PA为直径的圆恒过抛物线C的焦点F；(2)过P作抛物线C的另一条切线m，切点为B，求△PAB面积的最小值．5．[2018·广东惠阳模拟]设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6．[2018·齐鲁名校教科研协作体联考]已知P点是抛物线y2＝4x上任意一点，F点是该抛物线的焦点，点M(7,8)为定点，过P点作PQ垂直于y轴，垂足为点Q.(1)求线段|PQ|＋|PM|的最小值．(2)过点F的直线l交抛物线y2＝4x于A，B两点，N点是抛物线的准线与x轴的交点，若NA·NB＝8，求直线l的方程．大题专项训练(五)圆锥曲线1．解析：(1)由已知，动点M到点P(－1,0)，Q(1,0)的距离之和为2，2>|PQ|，∴动点M的轨迹为椭圆，其中a＝，c＝1，∴b＝1，∴动点M的轨迹E的方程：＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线的方程为y＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，直线BC的方程为：y－y2＝(x－x2)，∴y＝x－，令y＝0，则x＝＝＝＝－2，∴直线BC与x轴交于定点D(－2,0)．2．解析：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.3.解析：(1) 椭圆经过点A(2,0)和点(1,3e)，∴解得a＝2，b＝，c＝1，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)可得F1(－1,0)，F2(1,0)，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝，∴B点坐标为.由OM＝MA，知点M在OA的中垂线x＝1上，又M在直线l上，∴M(1，－k)，∴F1M＝(2，－k)，F2B＝＝， MF1⊥BF2，∴F1M·F2B＝2·＋＝＝0，∴k2＝，∴k＝±，即直线l的斜率为±.4．解析：(1)设A(x1，y1)，由x2＝4y，得y＝x2，∴y′＝x，∴直线PA的斜率为x1，∴直线l的方程为y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－y1，令y＝－1，得x＝，∴点P.FA·FP＝(x1，y1－1)＝2(y1－1)－2(y1－1)＝0，∴AF⊥FP，∴以PA为直径的圆恒过抛物线C的焦点F.(2)由(1)可知，∠BFP＝90°，∴A，F，B共线．设AB的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，设B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4，BP的方程为y＝x2x－y2，由，得x＝，∴P∴|PF|＝＝2，∴S＝|AB||FP|＝4(k2＋1)，∴k2＝0时，Smin＝4.5．解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，由NP＝NM，得∴∴＋＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)F(－1,0)，设P(m，n)，Q(－3，t)，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，由OP·PQ＝1，得(－3－m)m＋n(t－n)＝1，∴－3m－m2＋nt－n2＝1，∴3m－tn＋3＝0，FP＝(m＋1，n)，OQ＝(－3，t)，FP·...
